B

在坐標平面上的 $\bigtriangleup$ABC 中，P 為 $\overline{BC}$ 邊之中點，Q 在 $\overline{AC}$ 邊上且 $\overline{AQ}$ = 2$\overline{QC}$ 。已知 $\overrightarrow{PA}$ = (4, 3)， $\overrightarrow{PQ}$ = (1, 5)，則 $\overrightarrow{BC}$ 為何?

說明:此題又是屬於平面幾何的問題. 看起來是考二分點, 三分點公式. 其實可以不設任何坐標直接用向量的方法求解.

不管用什麼方法做這類題目還是先畫個圖比較清楚. 依題意我們有下圖:

用坐標的方法可設 P 為原點, 則 A, Q 的坐標分別為 (4, 3), (1, 5) (注意此圖並不是依 x 軸為水平的坐標系畫出), 再三分點公式得 C 點坐標 (- 1/2, 6). 最後就可依中點公式得 $\overrightarrow{BC}$ = (- 1, 12).

用向量的方法事實上是類似的, 只是題目已知的是 $\overrightarrow{PA}$ 和 $\overrightarrow{PQ}$, 而這兩個向量不平行, 所以此平面上所有的向量都可以用 $\overrightarrow{PA}$ 和 $\overrightarrow{PQ}$ 來表示, 因此我們可以用 $\overrightarrow{PA}$ 和 $\overrightarrow{PQ}$ 來表示 $\overrightarrow{BC}$. 由 $\overrightarrow{PA}$ 和 $\overrightarrow{PQ}$, 大家最先想到的是 $\overrightarrow{PQ}$ - $\overrightarrow{PA}$ = $\overrightarrow{AQ}$. 再利用 $\overrightarrow{AC}$ = ${\dfrac{3}{2}}$$\overrightarrow{AQ}$, 得

$$\overrightarrow{BC}$$ = 2$$\overrightarrow{PC}$$ = 2($$\overrightarrow{PA}$$ + $$\overrightarrow{AC}$$) = 2($$\overrightarrow{PA}$$ + $${\textstyle\frac{3}{2}}$$$$\overrightarrow{AQ}$$) = 2$$\overrightarrow{PA}$$ + 3($$\overrightarrow{PQ}$$ - $$\overrightarrow{PA}$$) = 3$$\overrightarrow{PQ}$$ - $$\overrightarrow{PA}$$.