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下面每一個選項都是以行列式表達坐標平面上的方程式， 請問哪些選項代表橢圓？

(1)$$\left\vert\vphantom{ \begin{array}{ccc} x & y & x \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{ccc} x & y & x \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} x & y & x \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right\vert$$ = 0        (2)$$\left\vert\vphantom{ \begin{array}{ccc} x^2 & 2y^2 & x \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{ccc} x^2 & 2y^2 & x \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} x^2 & 2y^2 & x \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right\vert$$ = 0        (3)$$\left\vert\vphantom{ \begin{array}{ccc} x^2 & y^2 & 2x \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{ccc} x^2 & y^2 & 2x \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} x^2 & y^2 & 2x \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right\vert$$ = 0

(4)$$\left\vert\vphantom{ \begin{array}{ccc} x^2+y^2 & y & x^2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{ccc} x^2+y^2 & y & x^2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} x^2+y^2 & y & x^2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right\vert$$ = 0        (5)$$\left\vert\vphantom{ \begin{array}{ccc} x^2-y^2 & y& x \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{ccc} x^2-y^2 & y& x \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} x^2-y^2 & y& x \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right\vert$$ = 0

說明:此題應該是有關兩個不同的概念, 一個是行列式的求值問題, 另一個是橢圓方程式. 若對線性代數熟悉的話都了解行列式為 0 應和向量線性相依有關, 此題考的是二次曲線應和向量無關, 所以應該沒有什麼快的方法將此兩個概念一次連結, 只好分兩步驟處理.

第一步就是化簡行列式. 看到五個行列式要去計算難免頭大, 不過仔細看看發現每個矩陣下面兩列(橫向)皆相同. 看來出題者希望同學用降階的方式處理 3×3 行列式, 也就是

$$\left\vert\vphantom{ \begin{array}{ccc} r & s & t \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{ccc} r & s & t \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} r & s & t \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right\vert$$ = r$$\left\vert\vphantom{ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}%% }\right\vert$$ - s$$\left\vert\vphantom{ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ \end{array}%% }\right\vert$$ + t$$\left\vert\vphantom{ \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{array}%% }\right\vert$$ = r + 2s - 5t.

如果不會降階, 直接用斜對角方式計算也可得上面式子. 再將 r, s, t 代每個選項所對應的位置的多項式, 就可得到五個方程式.

第二步就屬於知識性的問題, 由前面算出的五個方程式看出都沒有 xy 項, 所以題目所指的橢圓應該都是未經旋轉的, 也就是說都是標準式再經平移就可得. 這樣的橢圓方程式皆有以下的形式:

$${\frac{(x-c)^2}{a^2}}$$ + $${\frac{(y-d)^2}{b^2}}$$ = 1.

所以若展成 Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 的形式, A 和 B 皆不等於 0 且相異但同號(即同正同負), 因此可以看出只有選項 (2) 和 (3) 是可能的. 或許出題者好心認為同學做到這裡已不錯了, 所以沒有搞鬼(考退化的情形). 要注意即使 A, B 同號未必就是橢圓, 有可能是退化成一點或空集合. 考試時還是要小心確認配方後可化成 A(x - c)² + B(y - d )² = F, 其中 F 不為 0 且與 A, B 同號才是橢圓. 其實快一點的方法可由行列式知 (x, y) = (0, 0) 皆滿足這五個式子 (即其圖形皆通過原點) 所以不可能退化成空集合, 又如果退化成一點則必退化成原點, 即其方程式應為 Ax² + By² = 0 (A, B 同號) 所以選項 (2) 和 (3) 也不可能退化成一點. 不過這樣的看法不是通則, 一般情形還是規規矩矩用配方法處理較保險.