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假設 a, b 是整數，且 b$\ne$ 0 。已知 c = ${\dfrac{a}{3}}$ + ${\dfrac{b\sqrt{2}}{3}}$i 是實係數一元二次方程式 x² + kx + 1 = 0 的一個解。請問下列哪些選項是正確的?

(1) ${\dfrac{1}{c}}$ 是上述方程式的另外一個解        (2) ${\dfrac{1}{c}}$ = ${\dfrac{a}{3}}$ - ${\dfrac{b\sqrt{2}}{3}}$i        (3) c + ${\dfrac{1}{c}}$ = k

(4) k 一定是整數        (5) a 一定是奇數

說明:此題要考好幾個概念, 和上一題不同的是有些概念是相關的, 混在一起同學可能覺得不好處理, 再加上好幾個未知數大家就覺得更可怕了. 我們見招拆招一個一個選項來看.

選項 (1) 問的是 1/c 是不是另一解. 換句話說如果 c, d 是 x² + kx + 1 = 0 的兩個解, 是否 cd = 1? 這令人聯想到根與係數的關係, 所以由常數項為 1, 知道這是對的.

選項 (2) 問的是 1/c 的形式. 如果由題目給的 c 的形式, 1/c 沒有道理長的如選項中的樣子. 但是題目中 c 還需是 x² + kx + 1 = 0 的一個解, 多了條件可能性就變高了. 如果選項 (1) 知道是對的, 此題換句話說是問 x² + kx + 1 = 0 的另一個解是否為 a/3 - b$\sqrt{2}$i/3? 應該可以看出此數和 c 是共軛的 (因 b$\ne$ 0), 再加上 x² + kx + 1 是實係數多項式, 所以由共軛根成對定理知此選項是對的.

我們已幾乎用了題目中所給的條件, 僅剩下 a, b 為整數的條件需注意. 已確定 1/c 是另一根, 選項 (3) 依然問的是根與係數的關係. 依根與係數關係兩根和 c + 1/c 應為 - k, 同學可能會因 k$\ne$ - k 而不選 (3). 不過在去除選項 (3) 時仍應小心 k = 0 的情況 (此時 k = - k). 不過因為若 k = 0 表示 c = i 或 - i, 即 a = 0 且 b = ±3/$\sqrt{2}$, 此與條件 b 為整數不合故 (3) 不選.

選項 (4) 更要注意了. 同學們或許會因選項 (3) 而考慮從 c + 1/c = - k 來處理, 所以得 k = - 2a/3. 而從題目僅知 a 為整數沒說 a 是 3 的倍數, 而認為 k 不一定是整數而不選 (4). 雖然 (4) 確實不對, 不過這樣的看法是有缺失的 (謝謝出題者的仁慈). 因為題目的條件使得 a, b 是有限制的, 隨意選取的整數 a, b 所得的 c 不見得就會是某個 x² + kx + 1 = 0 的解. 所以此時就應將 a, b 的限制條件找出, 反正選項 (5) 也要用到 (或許選項 (4), (5) 交換較合理). 其實剛才處理選項 (2) 時提過, 一般來說 1/c 沒道理會和 c 共軛, 這裡會成立就是因為它們都是 x² + kx + 1 = 0 的解. 這個多出來的性質我們還未用到, 即

($${\dfrac{a}{3}}$$ + $${\dfrac{b\sqrt{2}}{3}}$$i)×($${\dfrac{a}{3}}$$ - $${\dfrac{b\sqrt{2}}{3}}$$i) = 1.

由此得 a²/9 + 2b²/9 = 1, 即 a² + 2b² = 9. 所以由 a, b 為整數確認 a = ±1, b = ±2 或是 a = ±3, b = 0. 故由 b$\ne$ 0 之假設知選項 (4) 不對, 同時知選項 (5) 是對的.