B

平面上坐標皆為整數的點稱為格子點。 我們將原點以外的格子點分層，方法如下：若 (a, b) 是原點 (0, 0) 以外的格子點，且 $\left\vert\vphantom{ a}\right.$a$\left.\vphantom{ a}\right\vert$ 和 $\left\vert\vphantom{ b}\right.$b$\left.\vphantom{ b}\right\vert$ 中最大值為 n，則稱 (a, b) 是在第 n 層的格子點（例如 (3, - 4) 是在第 4 層；(8, - 8) 是在第 8 層）。試求在第 15 層的格子點個數。

說明:從前情境題的題型剛出現時, 大家都很懼怕. 因為要將熟悉的情境轉換成數學來處理對一些人來說很困難. 現在大家慢慢都習慣情境題了, 此題又開了個玩笑要大家將數學語言轉換成熟悉的一般語言來處理問題.

此題出題者可能要考的是數列, 嚴格來說這部份的數學並不困難, 反而困難的是能否將分層的定義搞清楚. 若這部份弄清楚了不難體會為何如此定義, 然後畫幾層, 算一算前幾層的個數, 不難看出其規律性然後``猜''出第 15 層的個數 (同學應該沒空用數學歸納法來驗證). 另一種快一點的算法是算第 15 層以內的格子點數 (含 15 層以及原點), 即 31², 扣掉第 14 層以內的格子點數 29². 不管如何, 這兩種算法的前提都是需要看懂數學的定義, 知道如何畫出各層的格子點. 其實此題也可用大家熟知的排列組合及排容原理, 直接用數學的定義處理, 而不需轉化畫圖. 因為在 15 層的點 (a, b) 依定義其中必有 $\left\vert\vphantom{ a}\right.$a$\left.\vphantom{ a}\right\vert$ = 15 或 $\left\vert\vphantom{ b}\right.$b$\left.\vphantom{ b}\right\vert$ = 15. 我們就先考慮 $\left\vert\vphantom{ a}\right.$a$\left.\vphantom{ a}\right\vert$ = 15 的情形, 此時 a 有兩種選擇 (即 a = 15 或 a = - 15), 而依定義 b 為整數且 $\left\vert\vphantom{ b}\right.$b$\left.\vphantom{ b}\right\vert$$\le$15, 故 b 有 31 種選擇 (即 b $\in$ { - 15, - 14,..., - 1, 0, 1,..., 14, 15}). 所以依乘法原理, 在 $\left\vert\vphantom{ a}\right.$a$\left.\vphantom{ a}\right\vert$ = 15 的情形共有 2×31 = 62 個格子點. 同理在 $\left\vert\vphantom{ b}\right.$b$\left.\vphantom{ b}\right\vert$ = 15 的情形也有 62 個格子點. 不過此時 $\left\vert\vphantom{ a}\right.$a$\left.\vphantom{ a}\right\vert$ = $\left\vert\vphantom{ b}\right.$b$\left.\vphantom{ b}\right\vert$ = 15 是重覆計算, 即 a = ±15 且 b = ±15 這四種情形多算了. 故依排容原理知在第 15 層共有 62 + 62 - 4 = 120 個格子點.