二

設 r, s 為整數， 已知整係數多項式 x³ + rx + s 的因式分解是 x³ + rx + s = (x + a)²(x + b)，其中 a, b 為相異實數，求證 a, b 都是有理數。

說明:本題應該是測驗同學是否了解根與係數的關係以及有理數間加、減、乘、除(分母不為 0)的封閉性. 說根與係數關係有點誇張, 其實本題只要將 (x + a)²(x + b) 展開再與 x³ + rx + s 比較係數即可.

雖然此題 r, s, a, b 皆為未知數, 但條件是限制在 r, s 上 (即 r, s 是整數), 所以我們可以把 r, s 當成已知的數, 而想辦法將 a, b 用 r, s 來表示. 比較一下 x² 項係數得 2a + b = 0, 即 b = - 2a, 所以馬上比較 x 項係數以及常數項得: -3a² = r 以及 -2a³ = s. 要注意 a$\ne$ 0 (否則 a = b = 0 與題意不合), 故 r$\ne$ 0. 因此上面兩式相除得 a = (3s)/(2r) 是有理數.

從這解法也看出 r, s 僅需假設為有理數即可. 題目假設 r, s 為整數, 反而會誤導同學想用一次因式檢驗法處理本題. 不過由於 r, s 是未知數, 一次因式檢驗法在本題是派不上用場. 然而本題 x³ 項係數是 1, 一次因式檢驗法告訴我們其根若是有理數則將此根化為最簡分數時其分母必為 x³ 項係數的因數, 也就是 1. 所以本題是可依 r, s 為整數推得 a, b 皆為整數. 出題者或許原來想考這一部份, 後來好心只想點到為止卻忘了將 r, s 條件放鬆. 另外由實係數多項式虛根會共軛成對出現的性質知道 a, b 是實數的假設也是多餘的. 當然了, 學生不必知道哪些條件是多餘的也能解題, 只是老師們若能順便提及此二事, 對學生進一步瞭解有關多項式這兩個重要性質或許小有幫助.