1

設 z = cos${\frac{2\pi}{7}}$ + i sin${\frac{2\pi}{7}}$，試問複數 1 - z 的絕對值為以下哪一選項？

(1) 2 sin${\frac{\pi}{7}}$     (2) sin${\frac{2\pi}{7}}$     (3) $\sqrt{2}$sin${\frac{2\pi}{7}}$     (4) $\sqrt{2}$(1 - cos${\frac{2\pi}{7}}$)     (5) $\sqrt{1-\cos\frac{2\pi}{7}}$

說明:這一題考的是複數的絕對值, 順便考一下三角函數的半角公式. 不過若能知道 z 和 1 都在複數平面上以原點為原心的單位圓上, 就能用較幾何的方法處理而避開半角公式.

用直關比較代數的方法處理, 我們馬上有

$$\left\vert\vphantom{ 1-z}\right.$$1 - z$$\left.\vphantom{ 1-z}\right\vert$$ = $$\sqrt{(1-\cos\frac{2\pi}{7} )^2+\sin^2\frac{2\pi}{7}}$$ = $$\sqrt{2(1-\cos\frac{2\pi}{7})}$$

再用半角公式, 就可得 $\left\vert\vphantom{ 1-z}\right.$1 - z$\left.\vphantom{ 1-z}\right\vert$ = 2 sin${\frac{\pi}{7}}$.

我們可以發現這個問題和角度是無關的, 也就是說若 0$\le$$\theta$$\le$$\pi$ 且 z = cos 2$\theta$ + i sin 2$\theta$, 則 $\left\vert\vphantom{ 1-z}\right.$1 - z$\left.\vphantom{ 1-z}\right\vert$ = 2 sin$\theta$. 這是巧合嗎? 還是有什麼特殊原因呢? 我們曾經碰到類似的情況, 就是用代數的方法, 有些性質會在等式運算中被掩蓋了而無法看出, 但若用幾何的看法就可很清楚的知道其原因.

假設 0$\le$$\theta$$\le$$\pi$ 且 z = cos 2$\theta$ + i sin 2$\theta$. 將複數置於複數平面上, 此時兩複數 w, w' 之差的絕對值, 即 $\left\vert\vphantom{ w-w'}\right.$w - w'$\left.\vphantom{ w-w'}\right\vert$ 會等於 w 和 w' 在複數平面上所對應的點之間的距離. 由於 $\left\vert\vphantom{ z}\right.$z$\left.\vphantom{ z}\right\vert$ = $\left\vert\vphantom{ 1}\right.$1$\left.\vphantom{ 1}\right\vert$ = 1, 我們知 z 和 1 都落在以 0 為圓心半徑為 1 的單位圓上. 若我們將單位圓繞著圓心順時鐘轉 $\theta$ 角, 則 z 點會被轉到 cos$\theta$ + i sin$\theta$ 的位置, 而 1 會被轉到 cos(- $\theta$) + i sin(- $\theta$) 的位置, 如下圖. 由於我們只是將單位圓旋轉, 兩點經旋轉後距離不變. 所以 1 和 z 之間的距離等於 cos$\theta$ + i sin$\theta$ 和 cos(- $\theta$) + i sin(- $\theta$) 之間的距離, 故得 $\left\vert\vphantom{ 1-z}\right.$1 - z$\left.\vphantom{ 1-z}\right\vert$ = 2 sin$\theta$.

當然了代數觀點和幾何觀點可合併處理. 若 z = cos 2$\theta$ + i sin 2$\theta$, 令 w = cos$\theta$ + i sin$\theta$. 則因 $\left\vert\vphantom{ w}\right.$w$\left.\vphantom{ w}\right\vert$ = 1, 可得

$$\left\vert\vphantom{ 1-z}\right.$$1 - z$$\left.\vphantom{ 1-z}\right\vert$$ = $${\frac{\left\vert 1-z\right\vert }{\left\vert w\right\vert }}$$ = $$\left\vert\vphantom{\frac{1}{w}-\frac{z}{w}}\right.$$$${\frac{1}{w}}$$ - $${\frac{z}{w}}$$$$\left.\vphantom{\frac{1}{w}-\frac{z}{w}}\right\vert$$ = $$\left\vert\vphantom{(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))-(\cos\theta+i\sin\theta)}\right.$$(cos(- $$\theta$$) + i sin(- $$\theta$$)) - (cos$$\theta$$ + i sin$$\theta$$)$$\left.\vphantom{(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))-(\cos\theta+i\sin\theta)}\right\vert$$ = $$\left\vert\vphantom{ 2\sin\theta}\right.$$2 sin$$\theta$$$$\left.\vphantom{ 2\sin\theta}\right\vert$$.

上面的處理方式可以推導到更一般的情形. 例如若 z = r(cos$\theta$ + i sin$\theta$) 且 z' = r(cos$\theta{^\prime}$ + i sin$\theta{^\prime}$), 則可得

$$\left\vert\vphantom{ z-z'}\right.$$z - z'$$\left.\vphantom{ z-z'}\right\vert$$ = $$\left\vert\vphantom{ 2r\sin\frac{\theta-\theta'}{2}}\right.$$2r sin$${\frac{\theta-\theta'}{2}}$$$$\left.\vphantom{ 2r\sin\frac{\theta-\theta'}{2}}\right\vert$$.