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試問下列有關極限 $$\lim_{x\to1}^{}$$$${\frac{\left\vert 3-3x-x^2\right\vert -1}{x-1}}$$ 的敘述何者正確？

(1) 極限不存在     (2) 極限為 0     (3) 極限為 1     (4) 極限為 5     (5) 極限為 -2

說明:此題是希望了解絕對值取值問題, 再將函數化成分式求其極限. 這類問題同學們大多會處理, 我們僅想利用這個機會再澄清一些極限概念.

處理此題, 應先處理絕對值部份, 希望能將分子化成多項式, 這樣就能處理分式. 或許同學會規規矩矩寫下

$$\left\vert\vphantom{ 3-3x-x^2}\right.$$3 - 3x - x²$$\left.\vphantom{ 3-3x-x^2}\right\vert$$ = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} x^2+3x-3, & \hbox{當 $x\ge \... ... $\frac{-\sqrt{21}-3}{2}<x<\frac{\sqrt{21}-3}{2}$.} \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{ll} x^2+3x-3, & \hbox{當 $x\ge \frac{\sqrt{21}-3}{... ... & \hbox{當 $\frac{-\sqrt{21}-3}{2}<x<\frac{\sqrt{21}-3}{2}$.} \\ \end{array}$$

再來處理. 其實這裡因為是問在 x = 1 的極限問題, 我們僅需關心 x 很靠近 1 時的取值, 不必估算的如此準確 (不必擔心 ${\frac{\sqrt{21}-3}{2}}$ $\doteqdot$ 0.79 是否離 1 太近). 由於將 x = 1 代入 x² + 3x - 3 得 1 > 0 且因 x² + 3x - 3 是連續的, 所以知其在 x 很靠近 1 時的取值大於 0, 也就是說若我們僅考慮 x = 1 的附近取值, $\left\vert\vphantom{ 3-3x-x^2}\right.$3 - 3x - x²$\left.\vphantom{ 3-3x-x^2}\right\vert$ 和 x² + 3x - 3 其實是一樣的. 因此我們有

$$\lim_{x\to1}^{}$$$${\frac{\left\vert 3-3x-x^2\right\vert -1}{x-1}}$$ = $$\lim_{x\to1}^{}$$$${\frac{(x^2+3x-3)-1}{x-1}}$$

注意這個等式若沒有極限符號 (即 $\lim_{x\to 1}^{}$) 是不對的, 因為他們事實上是不同的函數, 加上極限符號表示我們是在 x = 1 附近取值, 這時兩邊的取值都相同所以等號成立.

下一步就要處理極限了. 一般同學處理極限會先代值看看, 若可取值那就是極限值; 若不能取值 (如分母為 0) 再另行處理. 這樣的方式和正確的極限觀念是有出入的 (造成很多同學誤以為此題極限不存在), 這是因為依定義 $\lim_{x\to a}^{}$f (x) 是指當 x 越來越靠近 a 時 f (x) 所越來越靠近的值, 基本上和 f (x) 在 x = a 的取值是無關的. 但如果 f (x) 是連續函數, 表示當 x 越來越靠近 a 時 f (x) 越來越靠近 f (a), 所以 f (x) 在 x 趨近於 a 的極限值就是 f (a). 這裡要強調是, 要先確定函數是在求極限的點是連續的, 再代值. 本題接下來的處理方式, 很多同學會寫下

$${\frac{(x^2+3x-3)-1}{x-1}}$$ = $${\frac{x^2+3x-4}{x-1}}$$ = x + 4

這樣的寫法又有問題. 因為從函數的角度來看 (x² + 3x - 4)/(x - 1) 和 x + 4 是不同的函數. 前一個在 x = 1 是沒有定義的, 而後一個在所有實數皆有定義, 所以它們是不同的. 由於它們在 x$\ne$1 的取值皆相同, 特別是在 x 很靠近 1 時, 所以正確的寫法應為

$$\lim_{x\to1}^{}$$$${\frac{x^2+3x-4}{x-1}}$$ = $$\lim_{x\to1}^{}$$x + 4.

最後利用 x + 4 是連續的, 得極限值為 5.

由於這題是選擇題, 同學不需寫下這麼標準的式子. 我們特別這樣寫下來, 是希望同學了解求極限的問題, 最大的原則是將要求的函數表為在求極限點附近的連續函數再代值, 而不是一開始不管怎樣就先代值.