5

設 P(x) 是一個五次實係數多項式。若 P(x) 除以 x - 3 的餘式是 2， 且商 Q(x) 是一個係數均為正數的多項式， 試問下列哪些選項是正確的？

(1) P(x) = 0 與 Q(x) = 0 有共同的實根     (2) 3 是 P(x) = 2 唯一的實根

(3) P(x) 不能被 x - 4 整除                         (4) P(x) = 0 一定有小於 3 的實根

(5) P(x) 除以 (x - 3)(x + 3) 的餘式也是 2

說明:這題考的是因式定理, 勘根定理以及多項式的除法原理. 若熟悉這些原理, 處理此題就沒有什麼困難. 由於條件中商式 Q(x) 係數皆為正數的假設滿特別, 我們特別拿出來討論.

同學們應可以看出選項 (2), (3), (4) 和 Q(x) 係數皆為正數的假設較有關. 由於 P(x) - 2 = Q(x)(x - 3) 選項 (2) 問的是 Q(x) = 0 有沒有可能有 3 以外的實根. 很多同學會以為 Q(x) 的係數皆為正數且是四次多項式, 因此當 x 趨近於正無限大或負無限大時, 其值都趨近於正無限大, 所以不會有實根. 其實這是錯的 (頂多只能說沒有正實根), (x² + 2x + 1)² 就是一個簡單的例子. 選項 (3) 會和 Q(x) 係數皆為正數的假設有關, 是因為 P(x) = Q(x)(x - 3) + 2, 故 x - 4 為 P(x) 的因式由因式定理知, 若且唯若 Q(4) + 2 = 0. 但由 Q(x) 的係數皆為正數知 Q(4) + 2 > 0 (因 Q(4) > 0), 故 x - 4 不可能是 P(x) 的因式. 選項 (4) 會用到 Q(x) 的最高次項係數為正數, 所以 P(x) 的最高次項係數為正, 而又 P(x) 是奇數次的多項式 (唯一用到 P(x) 是五次多項式的地方) 故由 p(3) = 2 > 0 以及勘根定理知 P(x) = 0 一定有小於 3 的實根.

像項 (1), (2), (5) 雖都是錯的, 但處理的方式不大一樣. 選項 (1) 可以用反證法證明它是錯的. 而選項 (2), (5) 大多舉個反例說明是錯的即可. 原則上覺得選項是對的就要想法子證明它, 而覺得錯的選項就需找個反例來證實, 而不能光憑感覺來處理. 這裡舉一個例子. 如果此題有一個選項是: P(x) 除以 (x - 3)(x - 2) 的餘式不可能是 2. 你認為是對還是錯呢? 感覺起來好像可以找到 P(x) 使得 P(x) 除以 (x - 3)(x - 2) 的餘式是 2. 但事實上是不可能找到的. 因為若 P(x) 除以 (x - 3)(x - 2) 的餘式是 2, 表示存在一個三次多項式 H(x) 使得 P(x) = (x - 3)(x - 2)H(x) + 2. 由除法原理商式的唯一性知 Q(x) = (x - 2)H(x), 故得 Q(2) = 0. 但此與假設 Q(x) 的係數皆為正數 (可得 Q(2) > 0) 相矛盾, 故知 P(x) 除以 (x - 3)(x - 2) 的餘式不可能是 2. 總之, 在處理選擇題的選項時, 要有充分理由才能下結論.