8

考慮坐標平面上函數 y = x³ + 2x + 3 的圖形(x 為任意實數)，試問下列哪些選項是正確的？

(1) 圖形有最高點，也有最低點         (2) 圖形有水平切線

(3) 圖形與任一水平直線恰有一交點

(4) 若 (a, b) 在圖形上， 則 (- a, - b + 6) 也在圖形上

(5) 圖形與三直線 x = 0, x = 1, y = 0 所圍成的區域之面積大於 4

說明:本題問的是三次多項式函數的圖形, 比較著重於一次導函數和函數圖形切線斜率的關係(即陡峭情形).

我們僅討論和一次導函數相關的選項. 因為 f (x) = x³ + 2x + 3 的一次導函數為 f'(x) = 3x² + 2, 對任意實數 x, 皆有 f'(x)$\ge$2, 所以此圖形不會有水平切線. 由於 f'(x) > 0, 知此函數一直是遞增, 即其圖形一直上升, 所以任一水平直線與之最多有一交點. 但由選項 (1) 可知此函數當 x 趨近於正無限大和負無限大時, 其取值分別趨近於正無限大和負無限大, 故此函數對所有的實數皆可取值. 因此知此函數圖形與任一水平直線恰有一交點.

最後一個選項較為棘手, 我們需了解此函數圖形在 x $\in$ [0, 1] 間的成長情形. 當 x = 0 時函數取值為 f (0) = 3 此時其切線斜率為 f'(0) = 2. 但當 x > 0 時, 其切線斜率 f'(x) = 3x² + 2 皆大於 2, 也就是說 y = f (x) 在 x = 0 的切線方程式為 y = 2x + 3, 但當 x > 0 時由於 y = f (x) 都以比 y = 2x + 3 更陡的方式爬升, 所以此時 y = f (x) 的圖形皆在 y = 2x + 3 圖形的上方. 如下圖.

由於 x = 0, x = 1, y = 0 和 y = 2x + 3 所圍成的區域之面積為 4, 故知此函數圖形與 x = 0, x = 1, y = 0 所圍成的區域之面積大於 4