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試問共有多少個正整數 n 使得坐標平面上通過點 A(- n, 0) 與點 B(0, 2) 的直線亦通過點 P(7, k)，其中 k 為某一正整數？

(1) 2 個         (2) 4 個        (3) 6 個        (4) 8 個        (5) 無窮多個

說明:本題應是評量同學是否了解直線斜率的性質以及計算整數的因數個數. 基本上同學們對這兩件事沒有問題, 不過一看題目有兩個未知數難免令人心生畏懼. 其實未知數沒有什麼可怕, 依然可以將它們看成已知數來處理, 而且還有不必牽扯如已知數間繁雜的計算這樣的好處. 以後我們還會看到有些題目, 反而在自行多設些未知數後可以將問題解決.

我們先將題目稍微``翻譯''一下, 題目是說:「分別考慮 x 軸負向上 (- 1, 0), (- 2, 0), ...,(- n, 0),... 這樣的點和 (0, 2) 的連線, 這些線因為不是鉛直線所以分別會和鉛直線 x = 7 交於不同的點, 問這些交點中有多少點其 y 軸坐標是正整數.」 因為有無窮多條直線, 不經任何觀念的處理, 是有可能有無窮多點是符合的. 不過這樣的看法, 並未考慮題目所給條件的限制. 例如, 多思考一點會發現, 當 n 愈大時, 所得直線愈平; 反之, 當 n 愈小時所得直線愈陡. 較平的直線交 x = 7 於較低處; 而較陡的直線交 x = 7 於較高處. 這些線與 x = 7 的交點都落於 y = 2 的上方, 也就是說這些交點的 y 軸坐標皆大於 2, 故得 k > 2 (k 為交點的 y 軸坐標). 令一方面 n 的最小值為 1 (因題目假設 n 為正整數), 所以這些線最陡的是 (- 1, 0) 和 (0, 2) 的連線, 可算出交 x = 7 於 (7, 16). 故得 k$\ge$16. 由於題目要求 k 為整數, 故知 k 至多有 16 - 2 = 14 種可能 (謝謝出題者仁慈沒有出這個選項). 同學若從這個角度思考直線的概念已經很不錯了, 可惜這仍不夠解決問題. 因為此看法用到了直線的性質, 但 n 為正整數的條件, 頂多用到 n$\ge$1 這個條件而已. 沒有道理所有介於 3 和 14 的正整數 k 都可以找到正整數 n 使得 (- n, 0) 和 (0, 2) 的連線通過 (7, k).

所以要用到 n 為正整數的性質, 我們就得將 (- n, 0) 和 (0, 2) 的連線交 x = 7 於哪一點確實算出. 如果問有一通過 (- 100, 0) 和 (0, 2) 兩點的直線, 交直線 x = 7 於 (7, k) 這一點, 你會求 k 值嗎? 相信一定沒問題, 但若將 (- 100, 0) 改成 (- n, 0), 也沒什麼好可怕的. 就將 - n 看成一個數, 利用你最熟悉的方法寫出 (- n, 0) 和 (0, 2) 的連線方程式 (例如截距式), 再代 x = 7 求出交點的 y 軸坐標. 也可以將 (7, k) 看成一個已知的點, 利用斜率概念(或相似三角形)得 (- n, 0), (0, 2) 和 (7, k) 三點共線時 n 和 k 的關係式. 最後得

k = $${\frac{14}{n}}$$ + 2.

所以 k 為正整數, 只有當 n | 14 才會成立.