一

設 f (x) = x³ - 6x² - x + 30， 且 a, b 是方程式 f (x) = 0 的兩正根。

(1) 求解三次方程式 f (x) = 0。

(2) 若 $\triangle$ABC 中， $\overline{AC}$ = a, $\overline{BC}$ = b, $\angle$ACB = 120^o，且 D, E 是 $\overline{AB}$ 上兩點，滿足

         $\overline{BD}$ = $\overline{BC}$, $\overline{AE}$ = $\overline{AC}$，試求 $\triangle$CDE 的面積。

說明:這一題考兩個部份, 一個是解三次多項式方程式, 另一個是考三角測量的問題. 雖然需用第一小題的數據處理第二小題, 但是本質上這是兩個不同的題目, 硬用這種方式將它們連結, 對會處理第二小題但第一小題粗心做錯的同學較吃虧.

第一小題是首項係數為 1 的整係數方程式, 若有有理根必為整數根, 再依提示有兩正根以及根與係數關係很容易得到三個根為 -2, 3, 5.

第二小題解法很多, 首先注意由於兩正根不相同, 所以這裡 a 和 b 會有兩種可能, 但不管是取 a = 3, b = 5 或 a = 5, b = 3 只是將三角形的標示交換而已, 並不影響結果, 所以我們僅討論 a = 3, b = 5 的情形. 首先大致畫個圖形.

注意 D, E 擺放的位置, 需使得 $\overline{AE}$ 和 $\overline{BD}$ 有重疊部分, 這是因為三角形兩邊和大於第三邊. 接下來就是要正式處理此題. 首先不管想用什麼方法都會發現需要知道 $\overline{AB}$ 的長度, 馬上利用餘弦定理就可得 $\overline{AB}$ = 7, 由此也知 $\overline{DE}$ = 1. 下一步處理方法很多, 有的同學心中只知道儘量用正弦, 餘弦定理, 因此想求出其它角或甚至求出 $\overline{CD}$, $\overline{CE}$ 用海龍 (Heron) 公式求 $\triangle$CDE 的面積. 這些方法都可行, 不過大都繞遠路, 或將問題變複雜. 其實這類型的問題雖然解法多, 但若發現處理起來變複雜了, 應適時換個``角度''看問題. 這裡我們舉個較簡明的解法. 由於知道 $\overline{AC}$ = 3, $\overline{BC}$ = 5 以及 $\angle$ACB = 120^o, 我們可求出 $\triangle$ABC 的面積為

$${\textstyle\frac{1}{2}}$$×3×5 sin 120^o = $${\frac{15\sqrt{3}}{4}}$$.

這樣的面積算法大都是將 $\triangle$ABC 看成底為 $\overline{AC}$ 或底為 $\overline{BC}$ 的三角形. 不過也可將 $\triangle$ABC 看成底為 $\overline{AB}$ 的三角形啊! 如此看法馬上就知 $\triangle$CDE 的面積比上 $\triangle$ABC 的面積應為 $\overline{DE}$/$\overline{AB}$ = 1/7, 故得 $\triangle$CDE 的面積為 15$\sqrt{3}$/28.