二

設 $\triangle$ABC 的三頂點坐標分別為 A(- 2, 7, 15)、 B(1, 16, 3)、C(10, 7, 3)。

(1) 試求通過 A、B、C 三點的平面方程式。

(2) 試求 $\triangle$ABC 的外心坐標。

說明:這一題也分兩個部份, 但和上一題不同的是第一小題和第二小題息息相關, 也就是說按照正常處理方式的話, 第二小題確實需要第一小題的結果. 雖然題目提到了三角形, 但問題幾乎和三角形無關. 考的應該是空間幾何的概念, 不過也可用平面向量來處理. 比較特別的是, 同學大都會處理平躺在 xy 平面上的三角形的外心問題, 而此題的三角形是在空間中的三角形, 測試同學是否了解如何推廣平面上的問題到空間中應該是此題最大的目的.

在坐標平面上, 所謂三角形的外心就是在此平面上通過這三角形三個頂點的圓的圓心. 在這個情況之下, 由於滿足這個條件的圓是唯一的, 所以外心也是唯一的. 至於此時外心的求法, 由於外心到三頂點的距離相同, 所以外心會落在任兩頂點連線段的中垂線上. 因此三角形任兩邊的兩條中垂線的交點就是此三角形的外心.

現在我們的問題不一樣了, 三角形是在空間中的三角形. 我們依然可以定義外心是通過三角形三頂點的圓的圓心. 但是問題來了, 這時候這樣的圓是否仍唯一呢? 這個問題不難回答, 因為通過這三頂點的圓一定和這三頂點共平面, 而空間中不共線的三點只有唯一的平面同時包含這三點. 所以依前面在平面的情況知此時外心依然是唯一的.

要如何找到空間中三角形的外心呢? 我們就本題中的三角形來說明. $\triangle$ABC 的三頂點坐標分別為 A(- 2, 7, 15)、 B(1, 16, 3)、C(10, 7, 3), 而外心依定義到 A, B, C 三點的距離都相等. 所以我們可以考慮先收集空間中到 A 和 B 距離相同的點. 假設點 (x, y, z) 與 A 的距離和與 B 的距離相等, 即 (x + 2)² + (y - 7)² + (z - 15)² = (x - 1)² + (y - 16)² + (z - 3)², 化簡得 x + 3y - 4z = - 2. 這個平面就是通過 $\overline{AB}$ 的中點且與直線 AB 垂直的平面, 在此我們稱它為 AB 的中垂面. 同理我們可得 AC 的中垂面 x - z = - 5. 這兩個中垂面的交集就是空間中所有到 A, B, C 皆等距的點所成的集合. 但這兩平面的交集不是一點而是一直線, 因此尚不可以決定外心在哪裡, 這是怎麼一回事呢? 或許有的同學會認為要第三個方程式才能決定一點, 所以又去考慮 BC 的中垂面. 多出的這個平面是沒有用的, 因為若 $\overline{PA}$ = $\overline{PB}$ 且 $\overline{PA}$ = $\overline{PC}$, 則 $\overline{PB}$ = $\overline{PC}$. 也就是說 AB 和 AC 的中垂面的交線也會在 BC 的中垂面上, 所以這三個平面依然相交於一直線. 問題發生在於平面中和不共線三點等距的點是唯一的, 而在空間中和不共線三點等距的點不唯一(是一直線). 也就是說在空間中, 雖然三角形的外心到三頂點等距; 但到三頂點等距的點未必是外心. 我們找到的兩中垂面的交線, 事實上告訴我們在空間中有無窮多個``球''會通過三角形的三頂點, 而這些球的球心所成的集合就是兩中垂面的交線. 那麼外心到底在哪裡呢? 別忘了剛才提到外心依定義會和三角形的三頂點共平面. 既然外心會在中垂面的交線上, 又會在三角形三頂點所決定的平面上, 自然它就是中垂面的交線和三頂點所在平面的交點了. 所以這題中我們要找的第三個平面就是第一小題中要求的通過 A, B, C 三點的平面 x + y + z = 20. 也就是說外心坐標 (x, y, z) 需滿足聯立方程式

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} x+3y-4z&=&-2\\ x-z&=&-5\\ x+y+z&=&20\\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{rcl} x+3y-4z&=&-2\\ x-z&=&-5\\ x+y+z&=&20\\ \end{array}$$

故得外心坐標為 (3, 9, 8).

最後我們用平面向量的觀點來求外心, 這個方法基本上只在 A, B, C 三點所在的平面上進行, 因此不需知道此平面的方程式. 這個方法不管 A, B, C 三點是在坐標平面或是坐標空間皆適用. 為了方便, 我們令 P 為外心, 而 Q, R 分別為線段 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 的中點, 如下圖. 注意此圖僅為方便說明, 與題目的三角形無關. 我們的想法是這樣, 因為直線 PQ 和直線 PR 分別是線段 $\overline{AB}$ 和線段 $\overline{AC}$ 的中垂線, 我們有 $\overrightarrow{QP}$ $\perp$ $\overrightarrow{AB}$ 且 $\overrightarrow{RP}$ $\perp$ $\overrightarrow{AC}$.

若令 P 的的坐標為 (x, y, z), 那麼這裡所用方法和前面中垂線的方法沒有差異, 因為我們沒有將 P 點限制在 A, B, C 所在的平面. 要如何將 P 點僅限制在 A, B, C 所在的平面呢? 由於這個平面上的向量都可利用 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 表示 (就如同 xy 平面上的向量都可由 (1, 0) 和 (0, 1) 這兩個向量表示). 我們可將 $\overrightarrow{AP}$ 寫成 s$\overrightarrow{AB}$ + t$\overrightarrow{AC}$, 其中 s, t 為實數, 亦即

$$\overrightarrow{AP}$$ = s(3, 9, - 12) + t(12, 0, 12) = (3s + 12t, 9s, - 12s - 12t).

大家應可發現當初若設 P 點坐標為 (x, y, z) 會是一個有三個未知數的問題, 而將 P 點限制在 A, B, C 所在平面的話, 就僅有兩個未知數. 接著我們就可利用 $\overrightarrow{QP}$ $\perp$ $\overrightarrow{AB}$ 且 $\overrightarrow{RP}$ $\perp$ $\overrightarrow{AC}$ 得知

$$\overrightarrow{AP}$$ ^. $$\overrightarrow{AB}$$ = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\overline{AB}^{2}_{}$$    以及    $$\overrightarrow{AP}$$ ^. $$\overrightarrow{AC}$$ = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\overline{AC}^{2}_{}$$.

故得聯立方程式

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} 234 s + 180 t &=&117 \\ 180 s + 288 t&=&144 \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{rcl} 234 s + 180 t &=&117 \\ 180 s + 288 t&=&144 \\ \end{array}$$

解得 s = 2/9, t = 13/36 故知外心 P 的坐標為 (3, 9, 8).