設
m
是一個正整數, 令 H 是 Sm 中由
(1 2 ... m) 這一個 m-cycle 所產生的 cyclic subgroup.
給定一個 group G, 我們考慮以下的一個集合 S:
現在我們要定義一個 H 對 S 的 group action. 任取
H,
x
S. 我們定義
*x 是將原來 x 的第 i 個位置的元素放在第
(i) 個位置, 也就是將第 1 個位置的放在第
(1) 個位置,
...依此類推. 例如若
= (1 2 ... m), 任取
x = (a1, a2,..., am)
S. 我們有
要證明 (H, S,*) 是一個 group action, 我們首先證明 (Act3). 若
,
H, 對任意的 x
S,
*x 是將原來 x 的第 i
個位置的元素放在第
(i) 個位置; 而
*x 是將原來 x 的第
i 個位置的元素放在第
(i) 個位置. 因此
*(
*x)
是將原來
*x 的第
(i) 個位置的元素放在第
(
(i))
個位置. 但
*x 的第
(i) 個位置的元素是原來 x 的第 i
個位置的元素, 因此知
*(
*x) 是將原來 x 的第 i
個位置的元素放在第
(
(i)) 個位置. 而按照定義
(
.
)*x 是將原來 x 的第 i 個位置的元素放在第
(
.
)(i) =
(
(i)) 個位置. 因為這是對所有的
i
{1,..., m} 都對故得
*(
*x) = (
.
)*x.
接下來證明 (Act1). 因為 H 是由
= (1 2 ... m) 產成的
cyclic group, 故任意的
H 都是
這種形式, 其中
j
. 因此若我們證得對任意的 x
S 皆有
*x
S,
則由於 (Act3) 知
*x =
*(
*x) (別忘了我們已證明了
(Act3)), 故可得
*x
S. 依此用數學歸納法就可得對任意的
j
皆有
*x
S. 所以現在我們只要證明若
x = (a1, a2,..., am - 1, am)
S 則
*x
S.
前面我們已知
*x = (am, a1, a2,..., am - 1), 由於這些 ai
皆在 G 中, 要證明
*x
S, 我們只要證明
am . a1 . a2 ... am - 1 = e 就可. 已知
x = (a1, a2,..., am - 1, am)
S, 因此
(a1 . a2 ... am - 1) . am = e. 換句話說
a1 . a2 ... am - 1 = am-1. 由於 G 是一個 group,
am . am-1 = am-1 . am = e, 所以我們有
am . am-1 = am . (a1 . a2 ... am - 1) = e. 故知
*x
S.
最後我們證 (Act2). 若 I H 是 H 的 identity, 則由定義知
I(i) = i,
i
{1,..., m}. 所以由我們定的作用知 I*x
是將 x 的第 i 個位置的元素放在第 i 個位置. 換句話說對所有的
x
S, I*x = x.
好了, 我們已知 (H, S,*) 是一個 group action. 現在來看看 S 有多少個元素. 若 | G| = n, 如果 S 的元素只是要求是 (a1,..., am) 這種形式, 由於每一個座標可以任填 G 中的元素, 所以 S 共有 nm 個元素. 不過我們的 S 還有另一個條件就是 a1 . a2 ... am - 1 . am = e. 所以前面 m - 1 個座標我們可以任填 G 中的元素 a1,..., am - 1 只要在第 m 個位置填上 (a1 ... am - 1)-1 就可. 因為每一個 S 的元素都可以用這種方法得到, 所以知
最後我們來討論 S0 是由哪些元素組成. 若
x = (a1, a2,..., am - 1, am) S0, 表示
*x = x. 不過已知
*x = (am, a1,..., am - 1), 故得