線性代數基本性質.

Definition 9.3.1 令 F 是一個 field. 我們說 V 是一個 vector space over F, 如果 V 本身元素間有加法 ``+'' 運算, 而且對任意 c $\in$ F, v $\in$ V 皆有 c^.v $\in$ V, 且滿足:

(VS1): V 在加法之下是一個 abelian group.
(VS2): 對所有的 c $\in$ F 以及 v₁, v₂ $\in$ V 皆有 c^.(v₁ + v₂) = c^.v₁ + c^.v₂.
(VS3): 對所有 c₁, c₂ $\in$ F 以及 v $\in$ V 皆有 (c₁ + c₂)^.v = c₁^.v + c₂^.v 且 c₁^.(c₂^.v) = (c₁^.c₂)^.v.
(VS4): 對任意 v $\in$ V 皆有 1^.v = v, 其中 1 $\in$ F 是 F 乘法的 identity.

這裡要注意一般 vector space 的定義裡並沒有要求 F $\subseteq$ V, 也沒有要求 V 的元素間有乘法運算. 不過將來我們討論 field 的性質時所碰到的 vector space 都會額� 有 F $\subseteq$ V 以及 V 的元素間有乘法運算這兩種特性. 也就是這兩種特性使得 field 的性質比一般的 vector space 強得多.

Definition 9.3.2 假設 F 是一個 field 且 V 是一個 vector space over F, 如果 v₁,..., v_n $\in$ V 滿足對任意 v $\in$ F 皆存在 c₁,..., c_n $\in$ F 使得

v = c₁^.v₁ + ^... + c_n^.v_n,

則稱 v₁,..., v_n span V over F.

如果一個 vector space 存在一組 v₁,..., v_n $\in$ V span V over F, 則我們稱 V 是一個 finite dimensional vector space over F.

如果 v₁,..., v_n span V over F, 當然也有可能有另一組 w₁,..., w_m $\in$ V 也 span V over F. 我們當然希望能找到一組元素最少的 v₁,..., v_n 可以 span V over F. 要達到這一點 v₁,..., v_n 之間至少要沒有線性關係, 要不然其中的某個 v_i 可以被其他的 v_j 展成, 我們就可以找到更少的元素 span V 了. 因此我們有以下的定義.

Definition 9.3.3 假設 F 是一個 field 且 V 是一個 vector space over F, 如果對於 V 中的一組元素 v₁,..., v_n $\in$ V 我們都找不到不全為 0 的 c₁,..., c_n $\in$ F 使得

c₁^.v₁ + ^... + c_n^.v_n = 0,

則稱這組 v₁,..., v_n 是 linearly independent over F.

如果 v₁,..., v_n $\in$ F span V 且是 linearly independent over F, 則稱 v₁,..., v_n 是一組 basis of V over F.

線性代數中最基本的性質就是當 V 是 finite dimensional vector space over F 時, 一定可以找到 V over F 的一組 basis. 雖然 basis 並不是唯一的, 不過任一組 basis 其元素個數都是相同的. 這個 basis 的個數稱之為 V over F 的 dimension, 我們記為 dim_F(V). 也就是說若 dim_F(V) = n, 則可以找到一組 v₁,..., v_n $\in$ V 是 linearly independent over F 且 span V over F.

如果 W $\subseteq$ V 且利用 V 和 F 間的運算 W 也是一個 vector space over F, 則稱 W 是 V 的一個 subspace over F. 以下是 dimension 一些基本的性質, 我們略去證明.

Lemma 9.3.4 假設 F 是一個 field 且 V 是一個 finite dimensional vector space over F.

若 v₁,..., v_n span V over F, 則 dim_F(V) $\le$ n.
若 w₁,..., w_m $\in$ F 是 linearly independent over F, 則 dim_F(V) $\ge$ m.
若 W 是 V 的一個 subspace over F, 則 dim_F(V) $\ge$ dim_F(W).