�b�����q���ڭ̥�
�Ӫ��ܩҦ���ƩҦ������X. �ҥH 0 �b
��, 2 �]�b
��, 2007 �M -365 �]�b
��.
�o�ˤ@�ӷ��ڭ̭n���@�Ӽ� a �O��Ʈ�, �ڭ̥u�n�� a �b
���N�n�F. �b�ƾǤW�ڭ̭n���@�ӪF��b�@�Ӷ��X���N��``
" �o�ӲŸ�,
�]�N�O``�ݩ�"���N��. �ҥH�H��ڭ̭n���F a �O�@�Ӿ�ƴN������
a
�Y�i. �ڭ̤]�`�u�Ҽ{�����, �b�����q���ڭ̥�
���ܩҦ�����ƩҦ������X. �ҥH�ڭ̥�
a
�Ӫ��� a
�O�@�ӥ����.
����Ƥ@�}�l�O�Ѧ۵M�ƥX�o�A�Q�μƼƪ���k�ڭ̩w�q�F�[�k�A���ۦ��F�t��������Ӿ�ƥ[�k����t�N�إ߰_�ӤF�C
���w
a
, �ڭ̥� 2a ����. a + a �@��ӻ��Y
n
�ڭ̱N
n �� a �ۥ[�����G���� na. �ڭ̤]�N (- n)a �ݦ� n �� - a
�ۥ[�ұo����. �Y�ڭ̦A�N 0a �w�� 0, �p���@�ӹ���N��
m
,
ma �����F�w�q.
�p���w�q�X�Ӫ����k�M�[�k�����Һ������B��W�h�p�洫�v,
���X�v�M���t�v�����B�N���A�حz. �ڭ̱N�i�H�g�� ma �䤤
m
���ƺ٬� a ������ (multiple). �t�@�譱�Y b �O a ������,
�ڭ̤]�� a �O b ���]�� (divisor). �Ÿ��O�� a| b.
�ڭ̱N a �����ƩҦ������X��
a �Ӫ���. �]�N�O��
a
�����������O ma �o�˪��Φ��䤤
m
. �o�˪����X�i��
a
= {ma | m
} �Ӫ���. �]���ڭ̥i�H��
b
a
�M b
�O a ������ (�� a �O b ���]��) �O�@�˪��N��.
���U�ӧڭ̷Q�ζ��X�����׳B�z�]�ƭ��ƪ��@�ǩʽ�. �n�`�N�o�ǩʽ�j�a�����ɳ��w�ҹL, �ڭ̥ζ��X�����׳B�z�èS�������K�A���гo�˪��B�z��k�ȬO�Q�Υ����j�a���x�@�U���X���y��.
�����`�N�Y
a
,
a
�o�@�Ӷ��X�ä����O�@�Ӷ��X.
�ѩ��Ʀb�[�k�M���k���U���ҿת��ʳ���,
a
�]���H�U��ӭ��n���ʳ���.
(1) �Ѥ��t�v��
b + c = na + n'a = (n + n')a. �S�ѩ�
n, n'
�ڭ̪�
n + n'
, �G�o
b + c
a
.
(2) �ѵ��X�v��
mb = m(na) = (mn)a. �S�ѩ�
m, n
�ڭ̪�
mn
, �G�o
mb
a
.
���X Proposition 1.1.1 �����G�ڭ̦��H�U���ʽ�.
�j�����@�ӭ��n���ʽ�ڭ̳��|�� Proposition �Ӻ٩I�A�a�W�s���H�K�H��ޥ�. �Ӫ����M�� Proposition �ұo���ʽ�ڭ̳��� Corollary �Ӻ٩I.
���ۧڭ̨Ӭݶ��X��ª��ʽ�. �Y A, B �O���X�B A �����������b B
��, �h�ڭ̴N��
A B �Ӫ��� (�� A �]�t�� B).
�ܮe�����H�U���ʽ�:
(2) �Y a| b �B b| a, �� (1) ��
b
a
�B
a
b
. �]���Ѷ��X�ʽ誾
a
= b
. �]�N�O��
a
�M
b
�O�ۦP�����X. �Ѧ�, �ܮe���ݥX�� a = 0 �� b = 0. �Ϥ���M.
�]���ڭ̥u�ѦҼ{ a
0 �B b
0 �����p. ����
a
���̤p������ a (�� a > 0) �� - a (�� a < 0) �|����
b
���̤p������ b �� - b. �G�o�� a = ±b.
(3) �Y a| b �B b| c, �h�� (1) ��
b
a
�B
c
b
. �]���Ѷ��X�ʽ誾
c
a
. �G�A��
(1) ���������Y�� a| c.
�A���j�դ@�U�e���ڭ̥ζ��X����H����k�ҩ��㰣���ʽ�D�n�O�n�j�a�ߺD���X���y���H�ξDzߤ@�ǩ�H�����Ҥ�k. ���ä��O����S�O���n��k. ��軡�j�a������ a| b �h ma| mb �N�����������W�����X����k�ӳB�z. �`��, �n�B�̤@�Ӱ��D�èS�����@�w�n�Τ����k. �A�u�n�ϥΤ@�ӧA�{���i��B���T����k�B�z. �ҥH�Dzƾǵ����n�ȬO�I�w�w�z���ҩ�. �p��N�c�����ҩ���z���A�ۤv�ߺD�B��z�Ѫ��y���~�O���I. ���U�ӧڭ̴N�^�k�w�q���ҩ��e�z���ʽ�.
(1) �N��������P���H m �i�o mb = mna = n(ma) �G�� ma| mb.
(2) d| a �B d| b �Y���ܦs�b
a', b'
�ϱo a = a'd �B b = b'd.
�G�� b = na �o b'd = na'd. �]�� d
0, ����P���H d �i�o
b' = na', �Y a'| b'. �]�� a/d = a' �B b/d = b' �G�o��
(a/d )|(b/d ).
Lemma 1.1.5 �O�@��²�檺�ʽ�. �������ä��⤰�j���ʽ�, ���O�H��Q�׳\�h�ʽ�ɳ��n�Ψ쥦, �ڭ̫K�� Lemma �٩I���H��K�ޥ�.
�b Lemma 1.1.5(2) �� d| a �B d| b �����]�N�O�� d �P�ɬO a �M b ���]��, �ڭ�²�٤��� a, b �����]��. �Q�פ@�Ǿ�Ƥ��������Y�ɤ��]�ƩM�̤j���]�ƥH�Τ����ƩM�̤p�����ƬO�ܭ��n���u��. ���U�ӧڭ̬O�����̤U�@�өw�q.
�q�`�����@�ӲŸ��ΦW���ݭn���Ю�, ���F��K���ڭ̷|�S�O�� Definition �ӼХܤ�.
���n�U�@�өw�q�ɭn�`�N�O�_�X�z.
���n�����w�q���F��ڥ����s�b�ΨS����. Definition 1.1.6
���N�n�`�N�̤j���]�Ƥγ̤p�����ƬO�_�s�b: �]�� 1 �㰣�Ҧ������,
�ҥH�Y
a1, a2,..., an
�h�䤽�]�ƥ��s�b. �S�]��
a1, a2,..., an �������h�Ӥ��]��, �ҥH�ڭ̪�
a1, a2,..., an
���̤j���]�ƥ��s�b. ���L
a1, a2,..., an ���̤j���]�Ʀ��i��O
1. �Y�p�� (�Y
gcd(a1, a2,..., an) = 1), �h��
a1, a2,..., an ���� (relatively prime). �t�@�譱�]��
a1a2 ... an �O
a1, a2,..., an ��������,
�ҥH�A�������W���t���i��
a1, a2,..., an ���������ƥ��s�b,
�]���� well-ordering principle ��
a1, a2,..., an
���̤p�����ƥ��s�b.
�U�@�`�ڭ̱N�|�ͽ׳̤j���]�Ƥγ̤p�����ƪ��@�ǰʽ�.