next up previous
�U�@��: ���k��z �W�@��: ��ƪ��򥻩ʽ� �e�@��: ��ƪ��򥻩ʽ�

�]�ƻP����

�����ڭ̤��дX�ӲŸ����K�Ʋߤ@�U���X������. �n���D�Ÿ��O�ƾǤW���U�ڭ̯�²�����F�Ʊ������n�u��, �j�a���ӭn�Dzߦp��A�����ϥβŸ�.

�b�����q���ڭ̥� $ \mathbb {Z}$ �Ӫ��ܩҦ���ƩҦ������X. �ҥH 0 �b $ \mathbb {Z}$ ��, 2 �]�b $ \mathbb {Z}$ ��, 2007 �M -365 �]�b $ \mathbb {Z}$ ��. �o�ˤ@�ӷ��ڭ̭n���@�Ӽ� a �O��Ʈ�, �ڭ̥u�n�� a �b $ \mathbb {Z}$ ���N�n�F. �b�ƾǤW�ڭ̭n���@�ӪF��b�@�Ӷ��X���N��``$ \in$" �o�ӲŸ�, �]�N�O``�ݩ�"���N��. �ҥH�H��ڭ̭n���F a �O�@�Ӿ�ƴN������ a $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �Y�i. �ڭ̤]�`�u�Ҽ{�����, �b�����q���ڭ̥� $ \mathbb {N}$ ���ܩҦ�����ƩҦ������X. �ҥH�ڭ̥� a $ \in$ $ \mathbb {N}$ �Ӫ��� a �O�@�ӥ����.

����Ƥ@�}�l�O�Ѧ۵M�ƥX�o�A�Q�μƼƪ���k�ڭ̩w�q�F�[�k�A���ۦ��F�t��������Ӿ�ƥ[�k����t�N�إ߰_�ӤF�C ���w a $ \in$ $ \mathbb {Z}$, �ڭ̥� 2a ����. a + a �@��ӻ��Y n $ \in$ $ \mathbb {N}$ �ڭ̱N n �� a �ۥ[�����G���� na. �ڭ̤]�N (- n)a �ݦ� n �� - a �ۥ[�ұo����. �Y�ڭ̦A�N 0a �w�� 0, �p���@�ӹ���N�� m $ \in$ $ \mathbb {Z}$, ma �����F�w�q. �p���w�q�X�Ӫ����k�M�[�k�����Һ������B��W�h�p�洫�v, ���X�v�M���t�v�����B�N���A�حz. �ڭ̱N�i�H�g�� ma �䤤 m $ \in$ $ \mathbb {Z}$ ���ƺ٬� a ������ (multiple). �t�@�譱�Y b �O a ������, �ڭ̤]�� a �O b ���]�� (divisor). �Ÿ��O�� a| b.

�ڭ̱N a �����ƩҦ������X�� a$ \mathbb {Z}$ �Ӫ���. �]�N�O�� a$ \mathbb {Z}$ �����������O ma �o�˪��Φ��䤤 m $ \in$ $ \mathbb {Z}$. �o�˪����X�i�� a$ \mathbb {Z}$ = {ma | m $ \in$ $ \mathbb {Z}$} �Ӫ���. �]���ڭ̥i�H�� b $ \in$ a$ \mathbb {Z}$ �M b �O a ������ (�� a �O b ���]��) �O�@�˪��N��.

���U�ӧڭ̷Q�ζ��X�����׳B�z�]�ƭ��ƪ��@�ǩʽ�. �n�`�N�o�ǩʽ�j�a�����ɳ��w�ҹL, �ڭ̥ζ��X�����׳B�z�èS�������K�A���гo�˪��B�z��k�ȬO�Q�Υ����j�a���x�@�U���X���y��.

�����`�N�Y a $ \in$ $ \mathbb {Z}$, a$ \mathbb {Z}$ �o�@�Ӷ��X�ä����O�@�Ӷ��X. �ѩ��Ʀb�[�k�M���k���U���ҿת��ʳ���, a$ \mathbb {Z}$ �]���H�U��ӭ��n���ʳ���.

Proposition 1.1.1   ���] a $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �B b, c $ \in$ a$ \mathbb {Z}$. �h�ڭ̦��H�U���ʽ�.
  1. b + c $ \in$ a$ \mathbb {Z}$.
  2. ����N m $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �Ҧ� mb $ \in$ a$ \mathbb {Z}$.

�� ��. �]�� b, c $ \in$ a$ \mathbb {Z}$ �̩w�q���s�b n, n' $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �ϱo b = na �B c = n'a.

(1) �Ѥ��t�v�� b + c = na + n'a = (n + n')a. �S�ѩ� n, n' $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �ڭ̪� n + n' $ \in$ $ \mathbb {Z}$, �G�o b + c $ \in$ a$ \mathbb {Z}$.

(2) �ѵ��X�v�� mb = m(na) = (mn)a. �S�ѩ� m, n $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �ڭ̪� mn $ \in$ $ \mathbb {Z}$, �G�o mb $ \in$ a$ \mathbb {Z}$. $ \qedsymbol$

���X Proposition 1.1.1 �����G�ڭ̦��H�U���ʽ�.

Corollary 1.1.2   ���] a $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �B b, c $ \in$ a$ \mathbb {Z}$. �Y m, n $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �h mb + nc $ \in$ a$ \mathbb {Z}$. ������, �Y a| b �B a| c, �h����N m, n $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �Ҧ� a| mb + nc.

�� ��. �]�� b, c $ \in$ a$ \mathbb {Z}$ �H�� m, n $ \in$ $ \mathbb {Z}$, �� Proposition 1.1.1(2) �� mb, nc $ \in$ a$ \mathbb {Z}$. �A�Q�� Proposition 1.1.1(1) �� mb + nc $ \in$ a$ \mathbb {Z}$. �]�N�O�� a| mb + nc. $ \qedsymbol$

�j�����@�ӭ��n���ʽ�ڭ̳��|�� Proposition �Ӻ٩I�A�a�W�s���H�K�H��ޥ�. �Ӫ����M�� Proposition �ұo���ʽ�ڭ̳��� Corollary �Ӻ٩I.

���ۧڭ̨Ӭݶ��X��ª��ʽ�. �Y A, B �O���X�B A �����������b B ��, �h�ڭ̴N�� A $ \subseteq$ B �Ӫ��� (�� A �]�t�� B). �ܮe�����H�U���ʽ�:

  1. �Y A $ \subseteq$ B �B B $ \subseteq$ A �h A = B.
  2. �Y A $ \subseteq$ B �B B $ \subseteq$ C �h A $ \subseteq$ C.
���X�o���X���ʽ�H�Ϋe�������ʳ��ʧڭ̦��H�U�����G.

Proposition 1.1.3   ���] a, b, c $ \in$ $ \mathbb {Z}$. �ڭ̦��H�U�����G.
  1. b$ \mathbb {Z}$ $ \subseteq$ a$ \mathbb {Z}$ �Y�B�߭Y a| b.
  2. �Y a| b �B b| a �h a = ±b.
  3. �Y a| b �B b| c �h a| c.

�� ��. (1) �Y b$ \mathbb {Z}$ $ \subseteq$ a$ \mathbb {Z}$, �ѩ� b $ \in$ b$ \mathbb {Z}$, �ڭ̱o b $ \in$ a$ \mathbb {Z}$. �G�� a| b. �Ϥ�, �Y a| b, �ڭ̭n�ҩ� b$ \mathbb {Z}$ $ \subseteq$ a$ \mathbb {Z}$. �@��ӻ��n�ҩ��@�Ӷ��X B �]�t��t�@�Ӷ��X A, �ڭ̭n�ҩ����O B �������@�Ӥ������|�b A ��. �]�����B�ڭ̭n�Ҫ��O���� b$ \mathbb {Z}$ �����@�Ӥ��� mb, �䤤 m $ \in$ $ \mathbb {Z}$ ���i�H�o�� mb $ \in$ a$ \mathbb {Z}$. �M�ӥ� a| b �����]�ڭ̪� b $ \in$ a$ \mathbb {Z}$. ���ۧڭ̴N�i�Q�� Proposition 1.1.1(2) ������N m $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �Ҧ� mb $ \in$ a$ \mathbb {Z}$. �]�N�O�� b$ \mathbb {Z}$ ���������b a$ \mathbb {Z}$ ��. �G�o�� b$ \mathbb {Z}$ $ \subseteq$ a$ \mathbb {Z}$.

(2) �Y a| b �B b| a, �� (1) �� b$ \mathbb {Z}$ $ \subseteq$ a$ \mathbb {Z}$ �B a$ \mathbb {Z}$ $ \subseteq$ b$ \mathbb {Z}$. �]���Ѷ��X�ʽ誾 a$ \mathbb {Z}$ = b$ \mathbb {Z}$. �]�N�O�� a$ \mathbb {Z}$ �M b$ \mathbb {Z}$ �O�ۦP�����X. �Ѧ�, �ܮe���ݥX�� a = 0 �� b = 0. �Ϥ���M. �]���ڭ̥u�ѦҼ{ a$ \ne$ 0 �B b$ \ne$ 0 �����p. ���� a$ \mathbb {Z}$ ���̤p������ a (�� a > 0) �� - a (�� a < 0) �|���� b$ \mathbb {Z}$ ���̤p������ b �� - b. �G�o�� a = ±b.

(3) �Y a| b �B b| c, �h�� (1) �� b$ \mathbb {Z}$ $ \subseteq$ a$ \mathbb {Z}$ �B c$ \mathbb {Z}$ $ \subseteq$ b$ \mathbb {Z}$. �]���Ѷ��X�ʽ誾 c$ \mathbb {Z}$ $ \subseteq$ a$ \mathbb {Z}$. �G�A�� (1) ���������Y�� a| c. $ \qedsymbol$

Remark 1.1.4   ����Ʀ��@�ӫܭ��n���ʽ� ``well-ordering principle''. �o�@�� principle �N�O�����w�@�ӫD�Ū���ƪ��l���X S, �p�G S ���U��( �Y���@�Ƥp�� S ���Ҧ�����, �h�� S ���U��), �h S �����t���@�ӳ̤p����� (�q�`�� minS �Ӫ���). �P�z�Y��ƪ��D�Ťl���X S ���W�� (�Y���@�Ƥj�� S ���Ҧ�����, �h�� S ���W��), �h�����X�����t���@�ӳ̤j����� (�q�`�� maxS �Ӫ���). �Ҧp��~ Proposition 1.1.3(2) ���ҩ����ڭ̦Ҽ{ a$ \mathbb {Z}$ ���̤p�������, �� a > 0 �� a �N�O a$ \mathbb {Z}$ ���̤p�������. �o�̦]���ڭ̽T�ꪾ�D a$ \mathbb {Z}$ �o�Ӷ��X�������, �ҥH�ä��ݳo�өʽ誽���i�� a �N�O�̤p��. �H��ڭ̱`�|�I��@�ǩ�H������Ƥl���X, ���ɴN�o�g�`�Ψ��ƪ��o�өʽ�ӽT�������X�s�b�@�ӳ̤p������. �t�~�n�`�N���ʽ�b��L�����p�p���z�ƴN����F. �ƹ�W�����z�ƬO���U�ɪ�(0 �p��Ҧ��������z��), ���èS���ҿ׳̤p�������z��.

�A���j�դ@�U�e���ڭ̥ζ��X����H����k�ҩ��㰣���ʽ�D�n�O�n�j�a�ߺD���X���y���H�ξDzߤ@�ǩ�H�����Ҥ�k. ���ä��O����S�O���n��k. ��軡�j�a������ a| b �h ma| mb �N�����������W�����X����k�ӳB�z. �`��, �n�B�̤@�Ӱ��D�èS�����@�w�n�Τ����k. �A�u�n�ϥΤ@�ӧA�{���i��B���T����k�B�z. �ҥH�Dz߼ƾǵ����n�ȬO�I�w�w�z���ҩ�. �p��N�c�����ҩ���z���A�ۤv�ߺD�B��z�Ѫ��y���~�O���I. ���U�ӧڭ̴N�^�k�w�q���ҩ��e�z���ʽ�.

Lemma 1.1.5   ���] a, b $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �B a| b, �ڭ̦��H�U���ʽ�.
  1. �Y m $ \in$ $ \mathbb {Z}$, �h ma| mb.
  2. �Y d| a �B d| b, �h (a/d )|(b/d ).

�� ��. �Ѱ��] a| b ���s�b n $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �ϱo b = na.

(1) �N��������P���H m �i�o mb = mna = n(ma) �G�� ma| mb.

(2) d| a �B d| b �Y���ܦs�b a', b' $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �ϱo a = a'd �B b = b'd. �G�� b = na �o b'd = na'd. �]�� d$ \ne$ 0, ����P���H d �i�o b' = na', �Y a'| b'. �]�� a/d = a' �B b/d = b' �G�o�� (a/d )|(b/d ). $ \qedsymbol$

Lemma 1.1.5 �O�@��²�檺�ʽ�. �������ä��⤰�򭫤j���ʽ�, ���O�H��Q�׳\�h�ʽ�ɳ��n�Ψ쥦, �ڭ̫K�� Lemma �٩I���H��K�ޥ�.

�b Lemma 1.1.5(2) �� d| a �B d| b �����]�N�O�� d �P�ɬO a �M b ���]��, �ڭ�²�٤��� a, b �����]��. �Q�פ@�Ǿ�Ƥ��������Y�ɤ��]�ƩM�̤j���]�ƥH�Τ����ƩM�̤p�����ƬO�ܭ��n���u��. ���U�ӧڭ̬O�����̤U�@�өw�q.

Definition 1.1.6   �O a1, a2,..., an $ \in$ $ \mathbb {Z}$.
  1. �Y c $ \in$ $ \mathbb {Z}$, �B c| a1c| a2,..., c| an, �h�� c �� a1, a2,..., an �� ���]�� (common divisor).
  2. �Y d $ \in$ $ \mathbb {N}$ �O a1, a2,..., an �����]�Ƥ��̤j��, �h�� d �� a1, a2,..., an ���̤j���]�� greatest common divisor, �q�`�ڭ̷|�� gcd(a1, a2,..., an) �Ӫ��ܤ�.
  3. �Y m $ \in$ $ \mathbb {Z}$, �B a1| ma2| m,..., an| m, �h�� m �� a1, a2,..., an �� ������ (common multiple).
  4. �Y l $ \in$ $ \mathbb {N}$ �O a1, a2,..., an �����������Ƥ��̤p��, �h�� l �� a1, a2,..., an ���̤p������ least common divisor, �q�`�ڭ̷|�� lcm(a1, a2,..., an) �Ӫ��ܤ�.

�q�`�����@�ӲŸ��ΦW���ݭn���Ю�, ���F��K���ڭ̷|�S�O�� Definition �ӼХܤ�.

���n�U�@�өw�q�ɭn�`�N�O�_�X�z. ���n�����w�q���F��ڥ����s�b�ΨS����. Definition 1.1.6 ���N�n�`�N�̤j���]�Ƥγ̤p�����ƬO�_�s�b: �]�� 1 �㰣�Ҧ������, �ҥH�Y a1, a2,..., an $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �h�䤽�]�ƥ��s�b. �S�]�� a1, a2,..., an �������h�Ӥ��]��, �ҥH�ڭ̪� a1, a2,..., an ���̤j���]�ƥ��s�b. ���L a1, a2,..., an ���̤j���]�Ʀ��i��O 1. �Y�p�� (�Y gcd(a1, a2,..., an) = 1), �h�� a1, a2,..., an ���� (relatively prime). �t�@�譱�]�� a1a2 ... an �O a1, a2,..., an ��������, �ҥH�A�������W���t���i�� a1, a2,..., an ���������ƥ��s�b, �]���� well-ordering principle �� a1, a2,..., an ���̤p�����ƥ��s�b.

�U�@�`�ڭ̱N�|�ͽ׳̤j���]�Ƥγ̤p�����ƪ��@�ǰ򥻩ʽ�.


next up previous
�U�@��: ���k��z �W�@��: ��ƪ��򥻩ʽ� �e�@��: ��ƪ��򥻩ʽ�
Li 2007-06-28