三個 Isomorphism 定理

給定 G 和 G' 要說明它們是 isomorphic 時, 若想真正找到它們之間一個具體的 isomorphism 一般來說並不容易. 在這一節中我們將介紹三個定理來幫助我們確認 G $\simeq$ G' 而不必真正找到一個 isomorphism. 別害怕! 雖然是三個定理, 不過後兩個定理可以利用第一個定理輕鬆推得. 所以大家務必要學好第一個 isomorphism 定理.

Theorem 2.6.1 (First Isomorphism Theorem)   若 $\phi$ : G$\to$G' 是一個 group homomorphism, 則

G/ker($$\phi$$) $$\simeq$$ im($$\phi$$).

証 明. 首先我們回顧一下: 因 $\phi$ : G$\to$G' 是一個 group homomorphism, 由 Lemma 2.5.4 知 im($\phi$) 是 G' 的 subgroup, 而 ker($\phi$) 是 G 的 normal subgroup. 所以要證得這一個定理, 我們必須先在 G/ker($\phi$) 這一個 quotient group 和 im($\phi$) 這個 group 之間找到一個函數. 再說明這個函數是 group homomorphism, 最後再驗證它是 1-1 且 onto.

G/ker($\phi$) 和 im($\phi$) 長甚麼樣子我們都不知道, 如何能無中生有創造出一個函數呢? 當然不可能無中生有! 我們可以用已經有的函數來創造它. 別忘了在假設中有一個 $\phi$, 我們可以利用 $\phi$ 製造以下的函數:

$$\psi$$ : G/ker($$\phi$$)$$\to$$im($$\phi$$);    $$\overline{a}$$ $$\mapsto$$ $$\phi$$(a),  $$\forall$$ $$\overline{a}$$ $$\in$$ G/ker($$\phi$$).

具體來說 $\psi$ 是把和 a 同類的元素送到 $\phi$(a) 這個值. 先別急著驗證 $\psi$ 是一個 group homomorphism. 你確定 $\psi$ 是一個`好函數' (well defined function) 嗎? 別忘了要成為一個好函數必須有以下兩個要素:(1) 每一個定義域裡的元素都必須送到對應域裡; (2) 不可以``一對多'': 也就是同一個元素不可以有兩種送法. 關於 (1) 我們的函數 $\psi$ 是 O.K. 的. 因為每個定義域 (即 G/ker($\phi$)) 裡的元素都是長 $\overline{a}$ 這個樣子, 其中 a $\in$ G. 所以 $\psi$ 把 $\overline{a}$ 送到 $\phi$(a). 依定義 $\phi$(a) 當然在對應域 im($\phi$) 內. 至於 (2) 就需要驗證了. 這是因為 G/ker($\phi$) 內的元素並沒有唯一的方法用 G 中的元素表示出來. 也就是說在 G 中可以找到兩個不同的元素 a, b 使得 $\overline{a}$ 和 $\overline{b}$ 在 G/ker($\phi$) 中是相同的. 所以要說明 $\psi$ 不是一對多, 我們必須說明 $\phi$(a) = $\phi$(b). 雖然 a$\ne$b, 不過由 $\overline{a}$ = $\overline{b}$ 知 a 和 b 在以 ker($\phi$) 這個 subgroup 的分類下是同類的. 別忘了 a 和 b 同類表示 a^{-1 .} b $\in$ ker($\phi$). 也就是說 $\phi$(a^{-1 .} b) = e'. 再利用 $\phi$ 是 group homomorphism 的假設, 我們得

$$\phi$$(a)^{-1 .} $$\phi$$(b) = $$\phi$$(a^{-1 .} b) = e'.

等式兩邊乘上 $\phi$(a), 可得 $\phi$(a) = $\phi$(b). 所以我們製造的 $\psi$ 是一個 well defined function.

接下來證 $\psi$ 是一個 group homomorphism: 這不難, 只要記住 G/ker($\phi$) 中的乘法是定義成: $\overline{a}$ ^. $\overline{b}$ = $\overline{a\cdot b}$. 因此對任意的 $\overline{a}$, $\overline{b}$ $\in$ G/ker($\phi$), 我們有

$$\psi$$($$\overline{a}$$ ^. $$\overline{b}$$) = $$\psi$$($$\overline{a\cdot b}$$) = $$\phi$$(a ^. b).

另一方面因為 $\phi$ 是 group homomorphism, 所以

$$\phi$$(a ^. b) = $$\phi$$(a) ^. $$\phi$$(b) = $$\psi$$($$\overline{a}$$) ^. $$\psi$$($$\overline{b}$$).

結合以上二式, 我們可得 $\psi$($\overline{a}$ ^. $\overline{b}$) = $\psi$($\overline{a}$) ^. $\psi$($\overline{b}$).

證明 $\psi$ 是 onto 純粹是定義: 給定任意元素 y $\in$ im($\phi$), 依定義知存在 x $\in$ G 使得 y = $\phi$(x). 因此我們可找 $\overline{x}$ $\in$ G/ker($\phi$) 代入 $\psi$ 得 $\psi$($\overline{x}$) = $\phi$(x) = y. 因此 $\psi$ 是 onto.

既然 $\psi$ 是 group homomorphism, 我們可以利用 Lemma 2.5.6: 也就是證明 ker($\psi$) 是 G/ker($\phi$) 的 identity. 別忘了 G/ker($\phi$) 的 identity 是 $\overline{e}$. 假設 $\overline{x}$ $\in$ ker($\psi$), 即 $\psi$($\overline{x}$) = e', 其中 e' 是 G' 的 identity. 但是由 $\psi$ 的定義: $\psi$($\overline{x}$) = $\phi$(x), 故知 x $\in$ ker($\phi$). 然而 G 中元素用 ker($\phi$) 來分類的話 x 和 e 是同類的 (因 e^{-1 .} x = x $\in$ ker($\phi$)). 故在 G/ker($\phi$) 中 $\overline{x}$ = $\overline{e}$.

總結: 我們證得了 $\psi$ 是一個從 G/ker($\phi$) 到 im($\phi$) 的 isomorphism. 所以 G/ker($\phi$) $\simeq$ im($\phi$). $\qedsymbol$

當然了如果定理中的 $\phi$ 是 onto. 那麼我們知 im($\phi$) = G'. 因此我們有以下的引理:

Corollary 2.6.2   若 $\phi$ : G$\to$G' 是一個 group epimorphism, 則

G/ker($$\phi$$) $$\simeq$$ G'.

First Isomorphism Theorem 告訴我們甚麼呢? 如果有一個 group G, 而 N 是其 normal subgroup. 則當我們要證明另一個 group G' 和 G/N 是 isomorphic 時. 我們不必辛苦的去找 G/N 和 G' 間的 isomorphism. 我們只要去找到一個 G 到 G' 的 epimorphism, $\phi$, 如果又剛好 ker($\phi$) = N. 那麼由 First Isomorphism Theorem 我們就可知 G/N $\simeq$ G' 了.

讓我們就利用證明第二個 isomorphism 定理來說明 First Isomorphism Theorem 的妙用吧! 給定一 group G, 若 H, N 是 G 的 subgroups, 考慮以下之集合:

H ^. N = {h ^. n | h $$\in$$ H, n $$\in$$ N}.

因為 H 和 N 都在 G 中所以 H ^. N 當然是 G 的一個子集合. 不過它不一定是 G 的 subgroup 喔! 主要的問題出在封閉性. 在 H ^. N 中任取兩元素, h ^. n 和 h' ^. n', 其中 h, h' $\in$ H, n, n' $\in$ N. 則 (h ^. n) ^. (h' ^. n') 不一定可以寫成一個 H 中的元素乘上一個 N 中的元素這樣的形式. 不過若 H 和 N 其中一個是 G 的 normal subgroup, 那麼 H ^. N 就是 G 的 subgroup 了. 我們就把這個事實寫成 Lemma 吧!

Lemma 2.6.3   若 H 是 G 的 subgroup 且 N 是 G 的 normal subgroup. 則 H ^. N = N ^. H 且是 G 的 subgroup.

証 明. 因為 N 是 G 的 normal subgroup, 故因 H $\subseteq$ G, 對於所有 h $\in$ H 及 n $\in$ N, h ^. n ^. h^-1 $\in$ N. 換句話說存在 n' $\in$ N 使得 h ^. n ^. h^-1 = n'. 因此 h ^. n = n' ^. h. 由此可得 H ^. N $\subseteq$ N ^. H. 同理可得 N ^. H $\subseteq$ H ^. N.

利用以上的結果, 前面所提的封閉性就可以解決了. 因為存在 n'' $\in$ N 使得 h' ^. n' = n'' ^. h' 故

(h ^. n) ^. (h' ^. n') = (h ^. n) ^. (n'' ^. h') = h ^. (n ^. n'') ^. h'.

又因 n ^. n'' $\in$ N, 故存在 $\hat{n}$ $\in$ N 使得 (n ^. n'') ^. h' = h' ^. $\hat{n}$. 故

(h ^. n) ^. (h' ^. n') = (h ^. h') ^. $$\hat{n}$$ $$\in$$ H ^. N.

反元素的存在也可用相同的看法: 若 h ^. n $\in$ H ^. N, 則

(h ^. n)^-1 = n^{-1 .} h^-1 $$\in$$ N ^. H.

又 N ^. H = H ^. N, 故 (h ^. n)^-1 $\in$ H ^. N. $\qedsymbol$

現在讓我們看看第二個 isomorphism 定理在談甚麼?

Theorem 2.6.4 (Second Isomorphism Theorem)   若 H 是 G 的 subgroup 且 N 是 G 的 normal subgroup. 則 H $\cap$ N 是 H 的 normal subgroup, 且

H/(H $$\cap$$ N) $$\simeq$$ (H ^. N)/N.

証 明. 雖然定理提到 H $\cap$ N 是 H 的 normal subgroup, 不過我們先不證它, 而直接用 first isomorphism 定理, normal subgroup 的部分會自然成立. 另外要注意的是定理中有另一個 quotient group (H ^. N)/N. 前面提到這是一個 group 非得要 N 在 H ^. N 中 normal, 為甚麼定理不談 N 在 H ^. N 中 normal 呢? 學代數到現在你應該了解這是很 trivial 的事實了. 因為 H 中有 identity 故對任意的 n $\in$ N 皆可寫成 n = e ^. n $\in$ H ^. N. 因此得 N $\subseteq$ H ^. N. 換句話說 H 是 H ^. N 的 subgroup. 那為甚麼 normal? 既然 N 在 G 中 normal, 當然對任意的元素 g $\in$ H ^. N $\subseteq$ G 都有 g ^. N ^. g^-1 = N 了.

怎麼用 first isomorphism 定理呢? 前面提到你要證明一個 quotient group 和另一個 group 是 isomorphism 時, 可以先不管 quotient group 中那個在底下的 normal subgroup. 在目前的情況我們有兩種選擇: (1) 從 H 到 (H ^. N)/N 的 homomorphism; (2) 從 H ^. N 到 H/(H $\cap$ N) 的 homomorphism. 你會選哪一個呢? 當然是 (1) 了! 主要原因不只是 (2) 中的 H $\cap$ N 在 H 中 normal 還沒證. 更重要的是從 H 到 (H ^. N)/N 的 homomorphism 比 從 H ^. N 到 H/(H $\cap$ N) 的 homomorphism 更自然更好找. (為甚麼呢? 只能說是憑感覺吧!)

讓我們先找一個從 H 到 (H ^. N)/N 的函數吧! 因為 H 是 H ^. N 的 subgroup, 我們有一個很自然的映射把 H 的元素送到 H ^. N: 也就是把 H 中的元素乖乖的原封不動的放到 H ^. N 中. 即 $\iota$ : H$\to$H ^. N 其中 $\iota$(h) = h. 又 N 在 H ^. N 中 normal, 我們又有一個很自然的可將 H ^. N 的元素用 N 分類的函數. 即 $\pi$ : H ^. N$\to$(H ^. N)/N 其中對所有的 g $\in$ H ^. N 我們有 $\pi$(g) = $\overline{g}$. 將 $\pi$ 和 $\iota$ 合成, 我們自然有一個函數

$$\phi$$ = $$\pi$$o$$\iota$$ : H$$\to$$(H ^. N)/N,

其中對所有的 h $\in$ H 我們有

$$\phi$$(h) = $$\pi$$($$\iota$$(h)) = $$\overline{h}$$.

現在要證 $\phi$ 是一個 group homomorphism. (我們不必證 $\phi$ 是 well defined, 這是因為 $\phi$ 這個函數`明明白白'的把 h 送到 $\overline{h}$ 這一個元素. 沒有前面那種一對多的可能.) 事實上對任意的 h, h' $\in$ H, 我們有

$$\phi$$(h ^. h') = $$\overline{h\cdot h'}$$ = $$\overline{h}$$ ^. $$\overline{h'}$$ = $$\phi$$(h) ^. $$\phi$$(h').

接下來證 $\phi$ 是 onto. 任意的 H ^. N 中的元素可寫成 h ^. n, 其中 h $\in$ H, n $\in$ N. 所以任意的 (H ^. N)/N 中的元素都可寫成 $\overline{h\cdot n}$. 但是 $\overline{h\cdot n}$ = $\overline{h}$ ^. $\overline{n}$. 別忘了我們是用 N 來分類所以 N 中的元素都和 identity 同類. 也就是說 $\overline{n}$ = $\overline{e}$. 因此 $\overline{h\cdot n}$ = $\overline{h}$. 由此知任意 (H ^. N)/N 中的元素 $\overline{h\cdot n}$ 我們都可找 h $\in$ H 使得 $\phi$(h) = $\overline{h}$ = $\overline{h\cdot n}$. 因此 $\phi$ 是 onto.

既然 $\phi$ 是一個從 H 到 (H ^. N)/N 的 epimorphism, 我們可以用 First Isomorphism Theorem (Corollary 2.6.2) 得到

H/ker($$\phi$$) $$\simeq$$ (H ^. N)/N.

甚麼是 ker($\phi$) 呢? 依定義 ker($\phi$) 是 H 中的元素 h 使得 $\phi$(h) 是 (H ^. N)/N 的 identity, $\overline{e}$. 也就是說 $\phi$(h) = $\overline{h}$ = $\overline{e}$. 別忘了 (H ^. N)/N 中的元素是對 N 分類, 故 $\overline{h}$ = $\overline{e}$ 表示 h 和 e 同類, 也就是說 e^{-1 .} h = h $\in$ N. 由此知 ker($\phi$) 的元素既要在 H 中也要在 N 中; 換句話說 ker($\phi$) $\subseteq$ H $\cap$ N. 反之若 a $\in$ H $\cap$ N, 則因 a $\in$ N 得 $\phi$(a) = $\overline{a}$ = $\overline{e}$. 故 H $\cap$ N $\subseteq$ ker($\phi$). 由此知 ker($\phi$) = H $\cap$ N. 因此我們由 Lemma 2.5.4 知 H $\cap$ N 是 H 的 normal subgroup 也由 First Isomorphism Theorem 知

H/(H $$\cap$$ N) $$\simeq$$ (H ^. N)/N.

$\qedsymbol$

相信大家已經看出 First Isomorphism Theorem 的妙用了. 讓我們再用它來證第三個 isomorphism 定理吧!

Theorem 2.6.5 (Third Isomorphism Theorem)   若 $\phi$ : G$\to$G' 是一個 group epimorphism. 假設 N' 是 G' 的一個 normal subgroup. 令

N = {a $$\in$$ G | $$\phi$$(a) $$\in$$ N'}.

則 N 是 G 的 normal subgroup 且

G/N $$\simeq$$ G'/N'.

証 明. 令 $\pi$ : G'$\to$G'/N' 是 G' 對 N' 來分類的函數. 如前一定理的證明我們可定 $\psi$ = $\pi$o$\phi$ : G$\to$G'/N'. 也就是說 $\psi$(a) = $\overline{\phi(a)}$, $\forall$ a $\in$ G.

由 $\phi$ 是 group homomorphism 知

$$\psi$$(a ^. b) = $$\overline{\phi(a\cdot b)}$$ = $$\overline{\phi(a)\cdot\phi(b)}$$ = $$\overline{\phi(a)}$$ ^. $$\overline{\phi(b)}$$ = $$\psi$$(a) ^. $$\psi$$(b).

故 $\psi$ 是一個從 G 到 G'/N' 的 group homomorphism.

任意 G'/N' 的元素都可寫成 $\overline{g}$ 其中 g $\in$ G' 這種形式. 但因 $\phi$ 是 onto, 故存在 a $\in$ G 使得 $\phi$(a) = g. 所以

$$\psi$$(a) = $$\overline{\phi(a)}$$ = $$\overline{g}$$.

因此 $\psi$ 也是 onto. (其實若同學了解一些合成函數的性質, 馬上可以利用兩個 onto 的函數其合成函數也是 onto 知 $\psi$ 是 onto.)

既然知 $\psi$ : G$\to$G'/N' 是一個 epimorphism, 我們再次用 First Isomorphism Theorem 知

G/ker($$\psi$$) $$\simeq$$ G'/N'.

甚麼是 ker($\psi$) 呢? 若 a $\in$ ker($\psi$) 即 $\psi$(a) = $\overline{\phi(a)}$ = $\overline{e'}$, 其中 e' 是 G' 的 identity. 也就是說 $\phi$(a) 和 e' 在用 N' 的分類下是同類的. 所以 $\phi$(a) $\in$ N'. 由 N 的定義知, 這表示 a $\in$ N. 故 ker($\psi$) $\subseteq$ N. 另外若 a $\in$ N, 則 $\phi$(a) $\in$ N' 故在 G'/N 中 $\psi$(a) = $\overline{\phi(a)}$ = $\overline{e'}$, 因此 a $\in$ ker($\psi$). 得 N $\subseteq$ ker($\psi$). 也就是說 ker($\psi$) = N 且 N 是 G 的 normal subgroup.

$\qedsymbol$