Group Homomorphisms

在數學中要描繪兩種東西間的關係最好的方法就是利用函數 function. 當然並不是所有這兩東西間的函數都很重要. 例如我們只關心兩個 groups 間的 group 架構, 因此我們只對某種特殊的函數有興趣. 這種函數我們稱之為 group homomorphism.

Definition 2.5.1   當 G, G' 是 groups 而 $\phi$ : G$\to$G' 是從 G 映射到 G' 的函數. 如果 $\phi$ 滿足對於所有 a, b $\in$ G 皆有 $\phi$(a ^. b) = $\phi$(a) ^. $\phi$(b), 則稱此函數 $\phi$ 是一個 group homomorphism.

要注意的是: 因為 a, b $\in$ G, 所以這裡 a ^. b 是在 G 中的乘法; 而 $\phi$(a),$\phi$(b) $\in$ G', 所以 $\phi$(a) ^. $\phi$(b) 是在 G' 中的乘法. 簡單地說: 一個從 G 到 G' 的 group homomorphism 就是一個函數它能保持 G 和 G' 元素間的運算. 以下的 Lemma 就是說明這個觀點的一個很好的例子. 它告訴我們 group homomorphism 會把 identity 送到 identity, 把 inverse 送到 inverse.

Lemma 2.5.2   設 G 和 G' 是 groups 且 e 和 e' 分別為其 identity. 若 $\phi$ 是一個從 G 映到 G' 的 group homomorphism, 則:

1. $\phi$(e) = e'.
2. 給定任意的 a $\in$ G, $\phi$(a^-1) = $\phi$(a)^-1.

証 明. 由 Theorem 1.2.3 知: 要證明 $\phi$(e) 是 G' 的 identity, 我們只要在 G' 中找到一元素 b 使得 b ^. $\phi$(e) = b 就可以 (再次強調我們不需證所有的 g $\in$ G' 都會使得 g ^. $\phi$(e) = g). 其實我們只要找 b = $\phi$(e) $\in$ G' 就好了. 這樣一來,

b ^. $$\phi$$(e) = $$\phi$$(e) ^. $$\phi$$(e) = $$\phi$$(e ^. e) = $$\phi$$(e) = b.

所以得證 $\phi$(e) 是 G' 的 identity.

同樣的要證明 $\phi$(a^-1) 是 $\phi$(a) 的 inverse, 我們只要證 $\phi$(a^-1) ^. $\phi$(a) = e' 就可. 然而

$$\phi$$(a^-1) ^. $$\phi$$(a) = $$\phi$$(a^{-1 .} a) = $$\phi$$(e) = e'.

所以 $\phi$(a^-1) = $\phi$(a)^-1. $\qedsymbol$

一般的函數有兩個集合是很重要的: 一個是在對應域裡的值域(像); 另一個就是定義域裡的解集合(送到 0 的元素所成的集合). 同樣的在 group homomorphism 中這兩個集合也很重要. 一個稱為 image; 另一個稱為 kernel.

Definition 2.5.3   若 $\phi$ : G$\to$G' 是一個 group homomorphism, 則

im($$\phi$$) = {$$\phi$$(a) $$\in$$ G' | a $$\in$$ G}

稱為 $\phi$ 的 image.

ker($$\phi$$) = {a $$\in$$ G | $$\phi$$(a) = e'},

稱為 $\phi$ 的 kernel.

從定義可知 im($\phi$) 是 G' 的一個子集合, 而 ker($\phi$) 是 G 的子集合. 事實上它們有很好的性質.

Lemma 2.5.4   若 $\phi$ : G$\to$G' 是一個 group homomorphism, 則 im($\phi$) 是 G' 的 subgroup, 而 ker($\phi$) 是 G 的 normal subgroup.

証 明. 我們可以利用定義直接證 im($\phi$) 和 ker($\phi$) 分別是 G' 和 G 的 subgroup. 我們這裡想直接利用 Lemma 1.3.4 來證.

若 $\phi$(a),$\phi$(b) $\in$ im($\phi$), 其中 a, b $\in$ G, 則利用 Lemma 2.5.2 我們知 $\phi$(b)^-1 = $\phi$(b^-1). 故

$$\phi$$(a) ^. $$\phi$$(b)^-1 = $$\phi$$(a) ^. $$\phi$$(b^-1) = $$\phi$$(a ^. b^-1).

又因 a ^. b^-1 $\in$ G, 故 $\phi$(a) ^. $\phi$(b)^-1 $\in$ im($\phi$). 另外若 a, b $\in$ ker($\phi$), 即 $\phi$(a) = $\phi$(b) = e', 則

$$\phi$$(a ^. b^-1) = $$\phi$$(a) ^. $$\phi$$(b)^-1 = e' ^. e' = e'.

也就是說 a ^. b^-1 $\in$ ker($\phi$). 由以上二式知 im($\phi$) 和 ker($\phi$) 分別是 G' 和 G 的 subgroup.

最後我們證 ker($\phi$) 事實上是 G 的 normal subgroup. 也就是要證明: 對於所有的 g $\in$ G, 我們都有 g ^. ker($\phi$) ^. g^-1 $\subseteq$ ker($\phi$). 換句話說: 若 a $\in$ ker($\phi$), 則我們要證 g ^. a ^. g^-1 $\in$ ker($\phi$). 然而

$$\phi$$(g ^. a ^. g^-1) = $$\phi$$(g) ^. $$\phi$$(a) ^. $$\phi$$(g^-1).

再利用 $\phi$(a) = e' 及 $\phi$(g^-1) = $\phi$(g)^-1, 我們可得

$$\phi$$(g ^. a ^. g^-1) = $$\phi$$(g) ^. e' ^. $$\phi$$(g)^-1 = e'.

故 g ^. a ^. g^-1 $\in$ ker($\phi$). $\qedsymbol$

Definition 2.5.5   令 $\phi$ : G$\to$G' 是一個 group homomorphism:

1. 若 $\phi$ 是 onto, 則稱之為 epimorphism.
2. 若 $\phi$ 1-1, 則稱之為 monomorphism.
3. 若 $\phi$ 是 1-1 且 onto, 則稱之為 isomorphism.

當然了我們可以用 im($\phi$) 來判定 $\phi$ 是否為 epimorphism. 事實上若 im($\phi$) = G', 則 $\phi$ 為 onto, 故為 epimorphism. 我們也可以用 ker($\phi$) 來判定 $\phi$ 是否為 monomorphism.

Lemma 2.5.6   已知 $\phi$ : G$\to$G' 是一個 group homomorphism, 則 $\phi$ 是一個 monomorphism 若且為若 ker($\phi$) = {e}.

証 明. 假設 $\phi$ 是 monomorphism (即 1-1). 若 g $\in$ ker($\phi$), 則由 Lemma 2.5.2 知 $\phi$(g) = $\phi$(e) = e'. 但若 g$\ne$e, 則由 $\phi$ 是 1-1 知 $\phi$(g)$\ne$$\phi$(e). 故得 g = e, 也就是說 ker($\phi$) = {e}.

反之, 假設 ker($\phi$) = {e}. 若存在 g₁$\ne$g₂ 使得 $\phi$(g₁) = $\phi$(g₂), 則

$$\phi$$(g₁ ^. g₂^-1) = $$\phi$$(g₁) ^. $$\phi$$(g₂)^-1 = e'.

也就是說 g₁ ^. g₂^-1 $\in$ ker($\phi$). 但這代表 g₁ ^. g₂^-1 = e, 即 g₁ = g₂, 和當初假設 g₁$\ne$g₂ 矛盾. 換句話說若 g₁$\ne$g₂ 則 $\phi$(g₁)$\ne$$\phi$(g₂). 這告訴我們 $\phi$ 是 1-1 的. $\qedsymbol$

這個定理告訴我們: 要檢查一個 group homomorphism 是否為 1-1, 只要檢查其 kernel 是否為 identity 即可. 不過千萬要切記, 我們是在假設 $\phi$ 是一個 group homomorphism 的前題之下才有這個結果. 你不可以拿到一個函數馬上就檢查其 kernel 為 identity 然後就下斷語說它是 1-1. 除非你已先知其為一個 group homomorphism. 最簡單的反例就是若 f : $\mathbb {R}$$\to$$\mathbb {R}$ 是一個實數到實數的函數, 你不能因為 x = 0 是 f (x) = 0 的唯一解就說 f (x) 是 1-1.

有時候兩個 groups 的元素看起來是不一樣的不過它們在結構上是相同的. 在代數的眼光中不應該把它們看成是不同的 groups. 不過怎樣來判定兩個 groups 結構相同呢? 如果兩個 groups G 和 G' 間你可以找到一個 group homomorphism 是 isomorphism (即 1-1 且 onto), 則我們稱 G 和 G' 這兩個 group 是 isomorphic, 記為: G $\simeq$ G'. 意思是我們把它們看作是同樣的 group. 這樣的看法是合理的: 因為 1-1 和 onto 表示 G 和 G' 看成集合是一樣的, 在加上 group homomorphism 保持它們 group 的結構, 所以我們把它們看作是一樣的 group.

這樣的看法在 finite group 之下大致上同學們就知道兩個 groups 若是 isomorphic 則它們的 order (元素個數) 要一樣. 不過要注意的是若兩個 groups 其 order 相同不見得它們就 isomorphic. 不管如何若兩個 groups 其 order 不同則它們一定不 isomorphic.

當考慮 infinite group 情況複雜多了; 主要是此時我們無法算個數. 這時有很多特殊現象發生, 例如一個 group 的 subgroup 可以和它 isomorphic. 我們有以下的簡單例子:

Example 2.5.7   考慮 $\mathbb {Z}$ 是一個加法之下的 group, 則所有偶數所成的集合 2$\mathbb {Z}$ 是其 subgroup. 考慮 $\phi$ : $\mathbb {Z}$$\to$2$\mathbb {Z}$ 是一個 group homomorphism 定義成: $\phi$(n) = 2n. 很容易看出來 $\phi$ 是一個 isomorphism. 所以 $\mathbb {Z}$ 和 2$\mathbb {Z}$ 是 isomorphic.

其實我們可以證得 $\mathbb {Z}$ 中所有的 nontrivial subgroup 都和 $\mathbb {Z}$ isomorphic. 不過我們別擔心太多 infinite group 因為前面已提過了, 在大學代數課中我們只要關心 finite group 就好了.

最後要強調的是: G 和 G' 是 isomorphic 表示在 G 和 G' 之間可以找到一個 isomorphism. 這並不表示 G 和 G' 間所有的 homomorphism 都是 isomorphism. 同學們常常誤解這一點以致於當碰到要你證明 G 和 G' 不是 isomorphic 時, 有的同學會在 G 和 G' 中找到一個 homomorphism 不是 1-1 及 onto 就斷言 G 和 G' 不是 isomorphism. 這是大錯特錯的!