Finite abelian groups 的基本定理

既然每一個 finite abelian group 都可寫成一些 abelian p-groups 的 direct product, 而每一個 abelian p-group 也都可寫成一些 cyclic groups 的 direct product, 因此由這兩個結果我們可以說完整的掌握了 finite abelian groups.

Theorem 3.3.11 (Fundamental Theorem on Finite Abelian Groups)   若 G 是一個 finite abelian group, 則 G 可以寫成一些 cyclic groups 的 direct product.

証 明. 由 Proposition 3.3.7 知 G $\simeq$ P₁× ^... ×P_r, 其中 P_i 都是某個質數 p_i 的 abelian p_i-group. 再由 3.3.10 知對所有的 P_i, 都可找到 cyclic groups C_i1,...C_ini 使得 P_i $\simeq$ C_i1× ^... ×C_ini. 因此得證本定理. $\qedsymbol$

這裡很有趣的是我們都知道所有的 cyclic groups 長什麼樣子, 既然 finite abelian groups 都是 cyclic groups 的 direct product, 我們當然就知道所有的 finite abelian groups 長什麼樣子了. 比方說若 G 是一個 abelian group 且 | G| = 6, 那麼 G 有可能長什麼樣子呢? 由 Proposition 3.3.7 知 G $\simeq$ P₁×P₂ 其中 P₁ 的 order 是 2, P₂ 的 order 是 3. 而 order 是 2 的 group 一定是 cyclic (Corollary 2.2.3) 故 P₁ $\simeq$ $\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$. 同理 P₂ $\simeq$ $\mathbb {Z}$/3$\mathbb {Z}$. 故 G $\simeq$ $\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/3$\mathbb {Z}$. 不過由 3.2.2 知 $\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/3$\mathbb {Z}$ $\simeq$ $\mathbb {Z}$/6$\mathbb {Z}$, 所以 G $\simeq$ $\mathbb {Z}$/6$\mathbb {Z}$. 也就是所有的元素個數為 6 的 abelian group 都是 cyclic group. 相信大家不難利用這個例子推廣到以下的 Corollary:

Corollary 3.3.12   若 G 是一個 abelian group 且 | G| = p₁ ^... p_r 其中 p₁,...p_r 是相異的質數, 則 G 是一個 cyclic group.

至於若 G 的 order 的質因數分解中存在高次方的話, 那麼問題就複雜一點了. 例如考慮 order 為 144 的 abelian group G. 因 144 = 2^{4 .} 3², 由 Proposition 3.3.7 知 G $\simeq$ P₁×P₂ 其中 P₁ 的 order 是 2⁴, P₂ 的 order 是 3². 再由 Proposition 3.3.10 計算

4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1

知 P₁ 有可能是 isomorphic to

(1)  $$\mathbb {Z}$$/16$$\mathbb {Z}$$    or    (2) $$\mathbb {Z}$$/8$$\mathbb {Z}$$×$$\mathbb {Z}$$/2$$\mathbb {Z}$$    or    (3) $$\mathbb {Z}$$/4$$\mathbb {Z}$$×$$\mathbb {Z}$$/4$$\mathbb {Z}$$,

(4) $$\mathbb {Z}$$/4$$\mathbb {Z}$$×$$\mathbb {Z}$$/2$$\mathbb {Z}$$×$$\mathbb {Z}$$/2$$\mathbb {Z}$$    or    (5) $$\mathbb {Z}$$/2$$\mathbb {Z}$$×$$\mathbb {Z}$$/2$$\mathbb {Z}$$×$$\mathbb {Z}$$/2$$\mathbb {Z}$$×$$\mathbb {Z}$$/2$$\mathbb {Z}$$,

這五種情況. 同理 P₃ 可能 isomorphic to

(1) $$\mathbb {Z}$$/9$$\mathbb {Z}$$    or    (2) $$\mathbb {Z}$$/3$$\mathbb {Z}$$×$$\mathbb {Z}$$/3$$\mathbb {Z}$$

這兩種情況. 因此元素個數為 144 的 abelian groups 共有十種可能.