Group action on the set of Sylow p-subgroups

若 G 是一個 finite group, p 是一個整除 | G| 的質數. 令 S 為 G 中所有的 Sylow p-subgroup 所成的集合 (也就是每個 Sylow p-subgroup 都看成是 S 的一個元素). 我們要介紹兩種 group action, 一個是將 G 作用在 S 上. 另一個是選定 G 中任一個 Sylow p-subgroup P 而考慮 P 對 S 的作用.

我們定義 G 對 S 的作用如下: 對任意 a $\in$ G, P' $\in$ S, 我們定義

a*P' = a ^. P' ^. a^-1.

我們證明 (G, S,*) 是一個 group action. 首先證明 (Act1). 因 P' 是 G 的 Sylow p-subgroup, 前面已提過 Lemma 1.5.2 告訴我們 a ^. P' ^. a^-1 也是 G 的 Sylow p-subgroup. 故得 a*P' $\in$ S. 而 e*P' = e ^. P' ^. e^-1 = P' 故 (Act2) 也成立. 最後若 a, b $\in$ G, 因為

(a ^. b)*P' = (a ^. b) ^. P' ^. (a ^. b)^-1 = (a ^. b) ^. P' ^. (b^{-1 .} a^-1),

且

a*(b*P') = a ^. (b*P') ^. a^-1 = a ^. (b ^. P' ^. b^-1) ^. a^-1,

故由結合率知 (a ^. b)*P' = a*(b*P'). 這證明了 (Act3).

| S| 是什麼呢? 無庸置疑的就是 G 中所有 Sylow p-subgroup 的個數. 這裡我們並不關心 S₀ 是什麼, 主要原因在這個 group action 之下只分成一類, 所以我們可以直接計算 | S|. 為什麼只分成一類呢? 任選 P₁, P₂ $\in$ S 由第二 Sylow 定理 (Theorem 4.5.1) 我們知存在 a $\in$ G 使得

P₂ = a ^. P₁ ^. a^-1 = a*P₁.

換句話說任選 S 中的兩元素都是同類的, 所以在此分類之下當然只有一類了. 現在我們任取一 P' $\in$ S, 由式子 (4.1) 知 | S| = |[P']|. 所以我們只要算 [P'] 有多少就可以了. Lemma 4.1.3 告訴我們 |[P']| = | G|/| G_P'|, 其中 G_P' = {a $\in$ G | a*P' = P'}. G_P' 到底是什麼呢? 由定義知任何 G_P' 中的元素 a 皆須滿足

P' = a*P' = a ^. P' ^. a^-1.

如果大家還不健忘的話該記得我們曾在 4.4 節中介紹過這樣的元素所成的集合 就是 P' 的 normalizer N(P'). 所以我們知 G_P' = N(P'). 因此我們可得

$${\frac{\vert G\vert}{\vert N({P'})\vert}}$$ (4.19)

現在我們介紹另一個類似的 group action. 選定 G 中任一個 Sylow p-subgroup P, 我們定義 P 對 S (和前面同樣的 S) 的作用如下: 對任意 x $\in$ P, P' $\in$ S, 我們定義

x*P' = x ^. P' ^. x^-1.

這個作用和前一個幾乎相同, 只是我們拿比較小的 group 去作用. 不難看出 (P, S,*) 也是一個 group action.

同樣的 S 的個數仍是所有 G 的 Sylow p-subgroup 的個數. 要注意的是這次我們作用的 group 比較小, 所以同類的元素會比較少, 因此前一次所得只分成一類的結果這兒並不一定對. 這一次我們需要算 | S₀|.

S₀ 是什麼呢? 由定義若 P' $\in$ S₀, 表示對所有 x $\in$ P,

x ^. P' ^. x^-1 = x*P' = P',

由 normalizer 的定義知這表示 x $\in$ N(P'). 換句話說若 P' $\in$ S₀ 則 P' 必須具有對所有 x $\in$ P 皆可得 x $\in$ N(P') 的性質. 也就是說: 若 P' $\in$ S₀, 則 P $\subseteq$ N(P'). 反之, 若 P' 是 G 的一個 Sylow p-subgroup 且符合 P $\subseteq$ N(P'), 則對任意的 x $\in$ P, 皆有 x*P' = P'. 所以我們證得

$$\in \subseteq$$ (4.20)

最後我們強調因 P $\in$ S 且 Lemma 4.4.1 告訴我們 P $\subseteq$ N(P), 故知

$$\in$$ (4.21)