Sylow p-subgroups 的個數

第三 Sylow 定理可以幫我們由 G 的 order 來判斷 G 的 Sylow p-subgroups 大致有多少個.

Theorem 4.6.1 (Third Sylow's Theorem)   若 G 是一個 group 且 | G| = pⁿm, 其中 n$\ge$1, p 是一個質數且 p$\nmid$m. 令 r 表示 G 中所有 Sylow p-subgroup 的個數, 則

(1)    r | m;        (2)    r $$\equiv$$ 1(mod p).

証 明. (1) 我們利用第一個 group action (G, S,*) 來證明 r | m. 由式子 (4.19) 知: 任選 P' $\in$ S, 我們有 r = | G|/| N(P')|. 不過 Lemma 4.4.1 告訴我們 P' 是 N(P') 的 subgroup. 由於 | P'| = pⁿ, Lagrange 定理告訴我們 | N(P')| 是 pⁿ 的倍數, 又由於 N(P') 是 G 的 subgroup, 再用一次 Lagrange 定理得 | N(P')| = pⁿd 其中 d | m. 故知

r = $${\frac{\vert G\vert}{\vert N(P')\vert}}$$ = $${\frac{p^nm}{p^nd}}$$ = $${\frac{m}{d}}$$.

因此 r | m.

(2) 我們利用第二個 group action (P, S,*) 來證明 r $\equiv$ 1(mod p). 因 P 是一個 p-group, 由 Proposition 4.1.4 知

$$\equiv$$ (4.22)

我們現在來計算 | S₀|. 由式子 (4.20) 知若 P' $\in$ S₀ 則 P $\subseteq$ N(P'). 不過前面已知 | N(P')| = pⁿd, 其中 d | m. 然而由 p$\nmid$m 知 p$\nmid$d, 因此由 | P| = pⁿ 知 P 是 N(P') 的一個 Sylow p-subgroup. 另一方面, 由 Lemma 4.4.1 知, P' 是 N(P') 的 normal subgroup. 但 P' 也是 N(P') 的 Sylow p-subgroup. Corollary 4.5.2 告訴我們 P' 是 N(P') 唯一的 Sylow p-subgroup. 故得 P = P'. 換句話說 S₀ 中只可能有 P 這個元素. 因此由式子 (4.21) 知 S₀ = {P}, 也就是說 S₀ 只有一個元素. 故由式子 (4.22) 得 r $\equiv$ 1(mod p). $\qedsymbol$

Example 4.6.2 (1)   我們知道在 A₄ 中 Sylow 3-subgroup 並不唯一 (Example 4.5.3), 那麼 A₄ 到底有多少個 Sylow 3-subgroup 呢? 假設有 r 個, 由於 | A₄| = 4 ^. 3, 由第三 Sylow 定理 (Theorem 4.6.1) 知 r | 4 且 r = 3k + 1. 也就是 r = 1 或 r = 4. 由於已知 r$\ne$1, 故得 r = 4. 事實上在 A₄ 中由

(1  2  3),    (1  2  4),    (1  3  4),    (2  3  4)

這四個 3-cycles 個別產生的 cyclic group 皆相異, 故知這些就是所有 A₄ 的 Sylow 3-subgroup.

(2) 在 A₅ 中有多少 Sylow 5-subgroups 呢? 假設有 r 個, 由於 | A₅| = 5!/2 = 5 ^. 12, 由第三 Sylow 定理 (Theorem 4.6.1) 知 r | 12 且 r = 5k + 1. 也就是 r = 1 或 r = 6. 由於已知 A₅ 是 simple (Theorem 3.4.26) 所以 A₅ 的 Sylow 5-subgroup 不可能是 A₅ 的 normal subgroup. 因此由第二 Sylow 定理 (Corollary 4.5.2) 知 r$\ne$1. 故得 r = 6. 事實上在 A₅ 中所有的 5-cycle 共有 4! = 24 個 (為甚麼呢? 這是高中的排列組合中五個人坐圓桌的問題吧!). 不過任一個 5-cycle 所產生的 cyclic group 中有 4 個 5-cycle 出現. 例如:

$$\langle$$(1  2  3  4  5)$$\rangle$$ = {(1  2  3  4  5),(1  3  5  2  4),(1  4  2  5  3),(1  5  4  3  2), I}

因此這 24 個 5 cycle 只產生 24/4 = 6 個相異的 order 5 的 subgroup. 這就是所有 A₅ 的 Sylow 5-subgroup.

大家不要被 Example 4.6.2 誤導. 第三 Sylow 定理並不是萬靈丹, 一般來說並不能單單由一個 group 的 order 再利用第三 Sylow 定理就能算出有多少個 Sylow p-subgroup. 有時要加入所考慮的 group 的性質, 例如在 A₅ 中 Sylow 2-subgroup 只用 Third Sylow's Theorem 來算就有可能有 3, 5 或 15 個. 所以要進一層的考量才可算出真正有幾個.