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An 的 normal subgroup

若 B 是 A 的 subgroup, C 是 B 的 subgroup, 且知 C 是 A 的 normal subgroup, 則當然 C 也會是 B 的 normal subgroup. 然而若僅知 C 是 B 的 subgroup, 並不表示 C 會是 A 的 normal subgroup (參見 Remark 2.4.2). 所以雖然我們知在 n$ \ge$5 時除了 An 外, Sn 沒有其他的 nontrivial proper normal subgroup, 但這並不表示 An 本身不會有 nontrivial normal subgroup.

我們將證事實上當 n$ \ge$5 時 An 確實沒有 nontrivial normal subgroup. 我們將利用類似在 Sn 的方法處理, 唯一要克服的是我們只能考慮 An 裡的元素.

Lemma 3.4.25   當 n$ \ge$5, 若 N 是 An 的一個 normal subgroup, 且 N 中存在一個 3-cycle, 則 N = An.

証 明. 首先再次強調在 Lemma 3.4.23 中的假設是 N 是 Sn 的 normal subgroup, 而這裡我們僅假設 N 是 An 的 normal subgroup, 由於此時 N 未必會是 Sn 的 normal subgroup 所以無法用 Lemma 3.4.23 來直接證明本 Lemma. 不過我們還是用類似的想法, 利用存在一個 3-cycle 和 N 在 An 中 normal 的假設得到所有的 3-cycle 都會在 N 中. 再利用 Proposition 3.4.22 得到 N = An.

假設 (a  b  c) $ \in$ N, 在 Lemma 3.4.23 的証明中我們是證明: 對任意的 3-cycle, (a'  b'  c') 皆可找到 $ \tau$ $ \in$ Sn 使得

$\displaystyle \tau$ . (a  b  c) . $\displaystyle \tau^{-1}_{}$ = (a'  b'  c').

如今這件事還是對的. 唯一不同的是當初 N 是在 Sn 中 normal, 所以因 (a  b  c) $ \in$ N 可得 $ \tau$ . (a  b  c) . $ \tau^{-1}_{}$ $ \in$ N, 如今 N 只在 An 中 normal, 如果當初選的 $ \tau$ 不屬於 An 則無法保證 $ \tau$ . (a  b  c) . $ \tau^{-1}_{}$ 會在 N 中 (回顧一下: N 在 An 中 normal 只告訴我們若 $ \sigma$ $ \in$ N, 且 $ \tau$ $ \in$ An 才可保證 $ \tau$ . $ \sigma$ . $ \tau^{-1}_{}$ $ \in$ N). 所以我們現在的策略是利用這個 $ \tau$ 找到另一個 $ \gamma$ 在 An 使得 $ \gamma$ . (a  b  c) . $ \gamma^{-1}_{}$ = (a'  b'  c').

當然了, 如果當初找的 $ \tau$ 已在 An 中那麼令 $ \gamma$ = $ \tau$ 即可. 如果 $ \tau$ 不在 An 呢? 這表示 $ \tau$ 是 odd permutation, 所以只要找到一個 2-cycle 乘上 $ \tau$ 就會成為 even permutation, 也就落入 An 了. 別忘了和 Lemma 3.4.23 不同, 這裡我們還多假設了 n$ \ge$5. 所以我們可選 i, j $ \in$ {1,..., n} 但 i 和 j 都不屬於 {a, b, c}, 而令 $ \gamma$ = $ \tau$ . (i   j). 如此一來不但 $ \gamma$ $ \in$ An 且

$\displaystyle \gamma$ . (a  b  c) . $\displaystyle \gamma^{-1}_{}$ = ($\displaystyle \tau$ . (i  j)) . (a  b  c) . ($\displaystyle \tau$ . (i  j))-1  
  = $\displaystyle \tau$ . (i  j)(a  b  c)(i  j) . $\displaystyle \tau^{-1}_{}$  
  = $\displaystyle \tau$ . (a  b  c) . $\displaystyle \tau^{-1}_{}$    ($\displaystyle \mbox{因 $(a\,\,b\,\,c)$\ 和 $(i\,\,j)$\ disjoint}$)  
  = (a'  b'  c').  

故由 (a  b  c) $ \in$ N 且 N 在 An 中 normal, 得 (a'  b'  c') $ \in$ N. $ \qedsymbol$

這裡要說明一下: 雖然 Lemma 3.4.25 我們用到了 n$ \ge$5 這個假設, 不過當 n = 3, 4 時, 我們可以直接證明 Lemma 3.4.25 也是對的.

最後我們依然要用類似證明 Theorem 3.4.24 的方法來證明以下的 Theorem.

Theorem 3.4.26   當 n$ \ge$5 時 An 沒有 nontrivial proper normal subgroup.

証 明. 我們要證明, 若 N 不是 identity 且是 An 的 normal subgroup, 則存在一個 3-cycle 在 N 中. 如此一來, 由 Lemma 3.4.25 知 N = An, 因而得證本定理.

回顧一下在 Theorem 3.4.24 的証明中, 我們是利用 N 中一個非 identity 的元素 $ \sigma$, 找到一個 2-cycle $ \tau$ 使得 $ \sigma$ . $ \tau$ . $ \sigma^{-1}_{}$$ \ne$$ \tau$. 如此就可以得到另一個在 N 中但不等於 identity 的元素, $ \sigma$ . ($ \tau$ . $ \sigma^{-1}_{}$ . $ \tau^{-1}_{}$). 這個元素當初會在 N 中完全是由於當時 N 假設是 Sn 的 normal subgroup, 所以利用 $ \sigma^{-1}_{}$ 也在 N 中可得 $ \tau$ . $ \sigma^{-1}_{}$ . $ \tau^{-1}_{}$ $ \in$ N. 如今 N 是在 An normal, 而 $ \tau$ 是 2-cycle 並不在 An 中, 我們不再有 $ \tau$ . $ \sigma^{-1}_{}$ . $ \tau^{-1}_{}$ $ \in$ N. 因此我們不能再用原來的 $ \tau$, 而是要找一個 An 中的元素. 事實上我們要找的是一個 3-cycle 就可. 也就是說我們希望找到一個 3-cycle $ \rho$ 使得 $ \sigma$ . $ \rho$ . $ \sigma^{-1}_{}$$ \ne$$ \rho$.

由於假設 $ \sigma$ $ \in$ N 且不是 identity, 故存在 a $ \in$ {1,..., n} 使得 $ \sigma$(a) = b$ \ne$a. 由於我們要找的是 3-cycle, 我們要把 $ \sigma$ 細分成以下三種狀況:

  1. $ \sigma$(a) = b, 且 $ \sigma$(b) = a;
  2. $ \sigma$(a) = b, $ \sigma$(b) = c 且 $ \sigma$(c) = a;
  3. $ \sigma$(a) = b, $ \sigma$(b) = c 且 $ \sigma$(c) = d$ \ne$a.

當$ \sigma$ 是 case 1 時, 我們可找 $ \rho$ = (a  b  i), 其中 i $ \in$ {1..., n} 但 i $ \not\in${a, b}. 此時由 Lemma 3.4.10 得

$\displaystyle \sigma$ . $\displaystyle \rho$ . $\displaystyle \sigma^{-1}_{}$ = (b   a   $\displaystyle \sigma$(i)).

注意 $ \sigma$(a) = b, 而 i$ \ne$a 故 $ \sigma$(i)$ \ne$b. 由於 $ \rho$ 是將 a $ \mapsto$ b, 而 $ \sigma$ . $ \rho$ . $ \sigma^{-1}_{}$ 是將 a $ \mapsto$ $ \sigma$(i) 故知 $ \sigma$ . $ \rho$ . $ \sigma^{-1}_{}$$ \ne$$ \rho$.

當$ \sigma$ 是 case 2 時, 我們可找 $ \rho$ = (a  b  i), 其中 i $ \in$ {1..., n} 但 i $ \not\in${a, b, c} (別忘了 n$ \ge$5 所以一定可以找到這樣的 i). 此時由 Lemma 3.4.10 得

$\displaystyle \sigma$ . $\displaystyle \rho$ . $\displaystyle \sigma^{-1}_{}$ = (b   c   $\displaystyle \sigma$(i)).

由於 $ \rho$ 是將 b $ \mapsto$ i, 而 $ \sigma$ . $ \rho$ . $ \sigma^{-1}_{}$ 是將 b $ \mapsto$ c, 故由 i$ \ne$c 知 $ \sigma$ . $ \rho$ . $ \sigma^{-1}_{}$$ \ne$$ \rho$.

當$ \sigma$ 是 case 3 時, 我們令 $ \rho$ = (a  b  c) 就可. 因為此時

$\displaystyle \sigma$ . $\displaystyle \rho$ . $\displaystyle \sigma^{-1}_{}$ = (b   c   d ),

由 a$ \ne$d 的假設知 $ \sigma$ . $ \rho$ . $ \sigma^{-1}_{}$$ \ne$$ \rho$.

綜合以上的結果我們知: 在 N 中任取一個不是 identity 的元素 $ \sigma$, 存在一個 3-cycle $ \rho$ 符合 $ \sigma$ . $ \rho$ . $ \sigma^{-1}_{}$$ \ne$$ \rho$. 由於 $ \rho$ $ \in$ An, 而 N 在 An 中 normal, 故由 $ \sigma^{-1}_{}$ $ \in$ N 得 $ \rho$ . $ \sigma^{-1}_{}$ . $ \rho^{-1}_{}$ $ \in$ N. 因此若令 $ \gamma$ = ($ \sigma$ . $ \rho$ . $ \sigma^{-1}_{}$) . $ \rho^{-1}_{}$ 則 $ \gamma$ 不是 identity, 且 $ \gamma$ = $ \sigma$ . ($ \rho$ . $ \sigma^{-1}_{}$ . $ \rho^{-1}_{}$) $ \in$ N. 更重要的是由於 $ \rho$ 是一個 3-cycle, Lemma 3.4.10 告訴我們 $ \sigma$ . $ \rho$ . $ \sigma^{-1}_{}$ 也是一個 3-cycle. 所以 $ \gamma$ = ($ \sigma$ . $ \rho$ . $ \sigma^{-1}_{}$) . $ \rho^{-1}_{}$ 是由兩個 3-cycle 相乘所得的 permutation. 簡言之: 我們在 N 中找到一個非 identity 的元素 $ \gamma$, 而且 $ \gamma$ 是由兩個 3-cycle 相乘而得.

現在我們將 $ \gamma$ 的這兩個 3-cycles 可能的形式列出:

甲
此二 3-cycles 中的元素都相同;
乙
此二 3-cycles 中, 有兩個元素相同;
丙
此二 3-cycles 中, 僅有一個元素相同;
丁
此二 3-cycles 中的元素皆相異.

若是 case 甲, $ \gamma$ 可寫成 (i  j  k)(i  j  k) (不可能是 (i  j  k)(i  k  j) 因若如此則為 identity). 在此情形我們得

$\displaystyle \gamma$ = (i   j   k)(i   j   k) = (i   k   j) $\displaystyle \in$ N.

故知 N 中有一個 3-cycle.

若是 case 乙, $ \gamma$ 可寫成 (i  j  k)(j  i  r) 或 (i  j  k)(i  j  r). 在第一種情形,

$\displaystyle \gamma$ = (i   j   k)(j   i   r) = (i   r   k) $\displaystyle \in$ N;

在第二種情形,

$\displaystyle \gamma$ = (i   j   k)(i   j   r) = (i   k)(j   r).

此時由於 n$ \ge$5, 在 {1,..., n} 中我們選擇 s $ \not\in${i, j, k, r}, 而令 $ \delta$ = (i  k  s) $ \in$ N. 則由於 $ \gamma$ $ \in$ N 且 N 在 An 中 normal, 故 $ \delta$ . $ \gamma$ . $ \delta^{-1}_{}$ $ \in$ N. 然而 $ \delta$ . $ \gamma$ . $ \delta^{-1}_{}$ = (k  s)(j  r) 故得

$\displaystyle \gamma$ . ($\displaystyle \delta$ . $\displaystyle \gamma$ . $\displaystyle \delta^{-1}_{}$) = (i   k)(j   r)(k   s)(j   r) = (i   k   s) $\displaystyle \in$ N.

所以在此情形, N 中有一個 3-cycle.

若是 case 丙, $ \gamma$ 可寫成 (i  j  k)(i  s  t). 在此情形我們得

$\displaystyle \gamma$ = (i   j   k)(i   s   t) = (i   s   t   j   k).

故知 N 中有一個 5-cycle. 此時令 $ \delta$ = (i  s  t) $ \in$ An, 則 $ \delta$ . $ \gamma$ . $ \delta^{-1}_{}$ = (s  t  i  j  k) $ \in$ N. 故得

$\displaystyle \gamma^{-1}_{}$ . ($\displaystyle \delta$ . $\displaystyle \gamma$ . $\displaystyle \delta^{-1}_{}$) = (k   j   t   s   i)(s   t   i   j   k) = (i   t   k) $\displaystyle \in$ N.

所以在此情形, N 中有一個 3-cycle.

最後若是 case 丁, $ \gamma$ 可寫成 (i  j  k)(r  s  t). 此時令 $ \delta$ = (i  j  r) $ \in$ An, 則 $ \delta$ . $ \gamma$ . $ \delta^{-1}_{}$ = (j  r  k)(i  s  t) $ \in$ N. 故得

$\displaystyle \gamma^{-1}_{}$ . ($\displaystyle \delta$ . $\displaystyle \gamma$ . $\displaystyle \delta^{-1}_{}$) = (k   j   i)(t   s   r)(j   r   k)(i   s   t) = (i   r   j   t   k) $\displaystyle \in$ N.

也就是說 N 中有一個 5-cycle. 此時用和上一個 (case 丙) 處理 5-cycle 相同的方法, 可得 N 中有一個 3-cycle.

由以上之結果知, 在任何情況下 N 中都有一個 3-cycle. 所以由 Lemma 3.4.25 知 N = An. $ \qedsymbol$

當一個 group 它沒有 nontrivial proper normal subgroup 時, 我們稱這種 group 是 simple group. 若 G 是 abelian, 它所有的 subgroup 都是 normal subgroup, 所以此時若 G 又是 simple, 表示 G 沒有 nontrivial proper subgroup. 之前已知在這種情形 G 一定是 cyclic 且其個數一定是一質數. 不過在一般情況下, simple group 並不如其名那麼 ``simple''. Theorem 3.4.26 告訴我們當 n$ \ge$5 時 An 是 simple group, 不過事實上 An 是蠻複雜的.

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Administrator 2005-06-18