S_n 的 normal subgroup

我們將介紹當 n$\ge$5 時 A_n 是 S_n 中唯一的 nontrivial normal subgroup.

因 S₃ 只有 6 個元素, 我們將它們一一列出, 記有: (1  2), (1  3), (2  3), (1  2  3), (1  3  2) 和 identity. 其中 A₃ 就是由 (1  2  3) 所產生的 cyclic group. 其他的 2-cycle 都只生成 order 2 的 subgroup. 考慮 (1  2) 所生成的 cyclic group $\langle$(1  2)$\rangle$, 由於

(1  3)(1  2)(1  3) = (3  2) $$\not\in$$$$\langle$$(1  2)$$\rangle$$

可知 $\langle$(1  2)$\rangle$ 不是 S₃ 的 normal subgroup. 同理知其他 order 為 2 的 subgroup 皆不是 normal. 因此在 S₃ 中只有一個 nontrivial normal subgroup, 就是 A₃.

在 S₄ 中情況就不一樣了. 除了 A₄ 外 還有一個 normal subgroup

N = {I,(1  2)(3  4),(1  3)(2  4),(1  4)(2  3)}.

很容易看出 N 中除了 identity 以外, 每個元素都是 order 2, 也就是自己是自己的 inverse. 我們來檢查 N 是乘法封閉的. 由

(1  2)(3  4) ^. (1  3)(2  4) = (1  4)(2  3)

就可以知 N 是乘法封閉的, 由此知 N 是 S₄ 的 subgroup. (由於 N 中的元素都是 even permutation 可知 N 也是 A₄ 的 subgroup.) 仔細觀察 N 中除了 identity 外其他的元素都是兩個 disjoint 2-cycle 相乘. 而且在 S₄ 中所有可能的兩個 disjoint 2-cycle 相乘的 permutation 都在 N 中. 若 $\sigma$ = (a  b)(c  d ) 是兩個 disjoint 2-cycle 相乘, 則由 Lemma 3.4.10 知對任意的 $\tau$ $\in$ S₄,

$$\tau$$ ^. $$\sigma$$ ^. $$\tau^{-1}_{}$$ = ($$\tau$$(a)  $$\tau$$(b))($$\tau$$(c)  $$\tau$$(d ))

也是由兩個 disjoint 2-cycle 相乘的 permutation. 換言知, 若 $\sigma$ $\in$ N, 則對任意的 $\tau$ $\in$ S₄ 皆得 $\tau$ ^. $\sigma$ ^. $\tau^{-1}_{}$ $\in$ N, 故 N 是 S₄ 的 normal subgroup.

當 n$\ge$5 時, 由於 S_n 的 order 已很大, 我們不可能如前面的方式討論下去. 我們有一個很重要的 Lemma 可以幫我們處理一般的狀況.

Lemma 3.4.23   若 N 是 S_n 的一個 nontrivial proper normal subgroup, 且 N 中存在一個 3-cycle, 則 N = A_n.

証 明. Proposition 3.4.22, 告訴我們要證明 N = A_n, 只要證明所有的 3-cycle 皆在 N 中就可. 因此若 (a  b  c) 是 N 中的一個 3-cycle, 我們想利用 N 是 normal 的性質證明任意的 3-cycle (a'  b'  c') 也在 N 中.

由於 N 在 S_n 中 normal, 對任意的 $\tau$ $\in$ S_n, 因為 (a  b  c) $\in$ N, 故有 $\tau$ ^. (a  b  c) ^. $\tau^{-1}_{}$ $\in$ N. 然而由 Lemma 3.4.10 知

$$\tau$$ ^. (a  b  c) ^. $$\tau^{-1}_{}$$ = ($$\tau$$(a)  $$\tau$$(b)  $$\tau$$(c)).

因此對任意的 3-cycle (a'  b'  c'), 我們只要在 S_n 找到一個 $\tau$ 滿足 $\tau$(a) = a', $\tau$(b) = b' 和 $\tau$(c) = c' 即可. 這當然做得到, 因為 a, b, c 皆相異, 而 a', b', c' 也都相異, 我們當然可找到一個 1-1 的函數將 a $\mapsto$ a', b $\mapsto$ b', c $\mapsto$ c'. 也就是說對任意的 3-cycle (a'  b'  c'), 我們都可以在 S_n 找到一個 $\tau$ 滿足 $\tau$ ^. (a  b  c) ^. $\tau^{-1}_{}$ = (a'  b'  c'). 所以由 $\tau$ ^. (a  b  c) ^. $\tau^{-1}_{}$ $\in$ N 得 (a'  b'  c') $\in$ N. $\qedsymbol$

綜合一下我們所知的結果: Lemma 3.4.22 告訴我們若已知 H 是 S_n 的一個 nontrivial proper subgroup, 則要證明 H = A_n 須證明所有 S_n 的 3-cycle 都在 H 中才行; 然而若已知 H 是 normal 那麼 Lemma 3.4.23 告訴我們只要在 H 中找到一個 3-cycle 就可得 H = A_n.

現在我們可以證明當 n$\ge$5 時 A_n 是 S_n 唯一的 nontrivial normal subgroup.

Theorem 3.4.24   當 n$\ge$5 時, 若 N 是 S_n 的 nontrivial proper normal subgroup, 則 N = A_n.

証 明. 由 Lemma 3.4.23 知我們只要想辦法在 N 中找到一個 3-cycle, 就可得 N = A_n.

現因 N 是 nontrivial, 所以 N 不是 identity. 換句話說在 N 中存在一個 $\sigma$ 不是 identity. 既然 $\sigma$ 不是 identity, 那麼 $\sigma$ 必將 {1 ..., n} 中某一整數 a 送到另一數 b, 即 $\sigma$(a) = b$\ne$a. $\sigma$ 是我們在 N 中隨便挑的非 identity 的元素, 它長怎樣我們一點都不清楚. 它有可能將 b 送回到 a 也有可能送到另一個數 a', 所以我們可分成以下兩個 cases:

1. $\sigma$(a) = b, 且 $\sigma$(b) = a;
2. $\sigma$(a) = b 但 $\sigma$(b) = a'$\ne$a.

我們接下來想利用 N normal 和利用 $\sigma$ 這個微弱的訊息來幫我們在 N 中找到更具體一點的元素. 我們的方法是這樣的: 試著在 S_n 中找到一個 2-cycle $\tau$, 使得 $\sigma$ ^. $\tau$ ^. $\sigma^{-1}_{}$$\ne$$\tau$. 如此一來 ($\sigma$ ^. $\tau$ ^. $\sigma^{-1}_{}$) ^. $\tau^{-1}_{}$ 就不會是 identity. 然而

($$\sigma$$ ^. $$\tau$$ ^. $$\sigma^{-1}_{}$$) ^. $$\tau^{-1}_{}$$ = $$\sigma$$ ^. ($$\tau$$ ^. $$\sigma^{-1}_{}$$ ^. $$\tau^{-1}_{}$$)

由 $\sigma$ $\in$ N, 得 $\sigma^{-1}_{}$ $\in$ N 再利用 N 是 normal 知 $\tau$ ^. $\sigma^{-1}_{}$ ^. $\tau^{-1}_{}$ $\in$ N. 因此 $\sigma$ ^. ($\tau$ ^. $\sigma^{-1}_{}$ ^. $\tau^{-1}_{}$) $\in$ N. 也就是我們又在 N 中找到一個新的不是 identity 的元素.

當 $\sigma$ 是 case 1 時, 我們在 {1,..., n} 中找另一個數 c, 使得 c$\ne$a 且 c$\ne$b. 令 $\tau$ = (a  c). 則由 Lemma 3.4.10 知

$$\sigma$$ ^. $$\tau$$ ^. $$\sigma^{-1}_{}$$ = ($$\sigma$$(a)  $$\sigma$$(c)) = (b   $$\sigma$$(c)).

注意此時因 $\sigma$(b) = a 但 c$\ne$b 故知 $\sigma$(c)$\ne$a. 也就是說

$$\sigma$$ ^. $$\tau$$ ^. $$\sigma^{-1}_{}$$ = (b   $$\sigma$$(c))$$\ne$$(b  a) = $$\tau$$.

當 $\sigma$ 是 case 2 時, 我們只要考慮 $\tau$ = (a  b) 就可. 因為此時 $\sigma$(b) = a'$\ne$a, 故

$$\sigma$$ ^. $$\tau$$ ^. $$\sigma^{-1}_{}$$ = ($$\sigma$$(a)  $$\sigma$$(b)) = (b  a')$$\ne$$(a  b) = $$\tau$$.

綜合以上 cases 1 和 2, 我們知: 不管 $\sigma$ 為何我們都可以在 S_n 中找到一個 2-cycle $\tau$ 使得

($$\sigma$$ ^. $$\tau$$ ^. $$\sigma^{-1}_{}$$) ^. $$\tau^{-1}_{}$$ $$\in$$ N

且不是 identity. 更重要的是 $\tau$ = $\tau^{-1}_{}$ 和 $\sigma$ ^. $\tau$ ^. $\sigma^{-1}_{}$ 都是 2-cycles. 也就是在 N 中存在一個元素 $\delta$ 是兩個 2-cycle 相乘且不是 identity.

這個 N 中的元素 $\delta$ 有可能是以下兩種情況:

甲

$\delta$ = (i  j)(j  k), 其中 i, j, k 皆相異.

乙

$\delta$ = (i  j)(k  l ), 其中 i, j, k, l 皆相異.

若是 case 甲, 則

$$\delta$$ = (i  j)(j  k) = (i  j  k) $$\in$$ N,

故知 N 中有一個 3-cycle.

若是 case 乙, 我們選一個在 {1,..., n} 中但在 {i, j, k, l} 以外的元素 m (這就是為何此定理需假設 n$\ge$5 的原因). 令 $\gamma$ = (i  m), 則因 $\delta$ $\in$ N 且 N 是 normal, 知 $\gamma$ ^. $\delta$ ^. $\gamma^{-1}_{}$ = (m  j)(k  l ) $\in$ N. 再由 $\delta$ $\in$ N 知 $\delta$ ^. ($\gamma$ ^. $\delta$ ^. $\gamma^{-1}_{}$) $\in$ N. 然而

$$\delta \gamma \delta \gamma^{-1}_{}$$ = (i  j)(k  l )(m  j)(k  l )

= (i  j)(m  j)

= (i  j  m)

故知 N 中有一個 3-cycle.

我們證明了在任何狀況下 N 中皆有一個 3-cycle, 故得 N = A_n. $\qedsymbol$

記得我們在 S₄ 中找到一個不是 A₄ 的 normal subgroup, 它是由一些 兩個 disjoint 2-cycle 相乘的 permutation 所形成. 當初我們證這些元素相乘有封閉性, 不過在 Theorem 3.4.24 的證明 (case 乙) 我們證得在 n$\ge$5 時這類元素相乘不再封閉.