Field 的基本性質

回顧一下一個 field 是一個 commutative ring with 1 而且其中非 0 的元素都是 unit. 也就是若 F 是一個 field, 則 F 中的 + 和 ^. 需滿足 Definition 5.1.1 中 (R1) 到 (R8) 的性質, 另?nbsp;需有:

很快的利用以上的定義我們可以得到以下有關 field 簡單但重要的性質.

証明. 由 field 的定義已知 F 是一個 commutative ring with 1, 所以我們只要證明 F 中沒有 zero-divisor 即可. 這可有由 Lemma 5.3.7 馬上得知, 不過為了完整性我們再給一次證明.

若 a $\in$ F 是 F 中的一個 zero-divisor, 即 a $\ne$ 0 且存在 b $\ne$ 0 滿足 a^.b = 0. 然而由 b $\ne$ 0 知 b 是 F 中的 unit, 故知存在 b^-1 $\in$ F 滿足 b^.b^-1 = 1. 因此可得

0 = (a^.b)^.b^-1 = a^.(b^.b^-1) = a^.1 = a.

此和 a $\ne$ 0 的假設相矛盾, 故 a 不可能是 F 中的 zero-divisor. $\qedsymbol$

以後我們會看到 Lemma 9.1.1 在有關 field 的性質的推導過竣井雃h地方占了關鍵性的地位. 首先看一個簡單的例子:

証明. 利用 F 是一個 ring with 1, 我們知道 F^* 滿足 Definition 1.1.1 中 (GP2) 和 (GP3) 的條件. 再來若 a $\in$ F^* 我們知存在 a^-1 $\in$ F 滿足 a^.a^-1 = 1, 然而 a^-1 不可能是 0, 否則會造成 a^.a^-1 = a^.0 = 0. 故知 a^-1 $\in$ F^*, 也就是說 F^* 也滿足 Definition 1.1.1 中 (GP4) 的性質. 因此要證明 F^* 在乘法的運算之下是一個 group 我們僅要檢查 (GP1). 也就是說若 a, b $\in$ F^*, 則 a^.b $\in$ F^*. 然而 a, b $\in$ F^* 表示 a, b $\in$ F 且 a $\ne$ 0, b $\ne$ 0, 故由 Lemma 9.1.1 知 a^.b $\ne$ 0, 即 a^.b $\in$ F^*. 至於 F^* 是 abelian, 則由 F 是 commutative ring 馬上得知. $\qedsymbol$

Example 9.1.3 考?

$\displaystyle \mathbb {Z}$ /5 $\displaystyle \mathbb {Z}$ = { $\displaystyle \overline{0}$ , $\displaystyle \overline{1}$ , $\displaystyle \overline{2}$ , $\displaystyle \overline{3}$ , $\displaystyle \overline{4}$ }

這一個 ring. 由於 5 是 $\mathbb {Z}$ 中的 irreducible element 且 $\mathbb {Z}$ 是 principle ideal domain 利用 Lemma 8.3.2 知 5 $\mathbb {Z}$ = $\bigl($ 5 $\bigr)$ 是 $\mathbb {Z}$ 中的 maximal ideal. 所以知 $\mathbb {Z}$ /5 $\mathbb {Z}$ 是一個 field (Theorem 6.5.11). 我們可以驗證

( $\displaystyle \mathbb {Z}$ /5 $\displaystyle \mathbb {Z}$ )^* = { $\displaystyle \overline{1}$ , $\displaystyle \overline{2}$ , $\displaystyle \overline{3}$ , $\displaystyle \overline{4}$ }

在乘法之下是一個 abelian group. 事實上由

$\displaystyle \overline{2}^{2}_{}$ = $\displaystyle \overline{4}$ , $\displaystyle \overline{2}^{3}_{}$ = $\displaystyle \overline{3}$ , $\displaystyle \overline{2}^{4}_{}$ = $\displaystyle \overline{1}$ ,

可知 ( $\mathbb {Z}$ /5 $\mathbb {Z}$ )^* 在乘法之下是一個 cyclic group (因 $\left\vert\vphantom{(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^*}\right.$ ( $\mathbb {Z}$ /5 $\mathbb {Z}$ )^* $\left.\vphantom{(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^*}\right\vert$ = 4 且 ord( $\overline{2}$ ) = 4).

假設 F 是一個 field 且 S $\subseteq$ F. 如果將 F 的加法與乘法運算限制在 S 中來看, S 也是一個 field, 則稱 S 是 F 的 subfield. 因此如果 S 在 F 的加法之下是 F 的 subgroup 且 S^* = S $\setminus$ {0} 在 F^* 的乘法之下是 F^* 的 subgroup, 則 S 就會是 F 的 subfield. 因此利用 Lemma 1.3.4 我們有以下的檢查 subfield 的方法.

接下來我們來看 field 之間 homomorphism 的性質. 若 R 和 R' 是兩個 ring 且 $\psi$ : R $\to$ R', 其中對任意的 a $\in$ R 皆有 $\psi$ (a) = 0, 則依定義 $\psi$ 當然是 R 到 R' 的一個 ring homomorphism. 不過這種 ring homomorphism 對我們來說是無用的, 一般我們稱之為 trivial homomorphism.

証明. (1) 我們要證明 $\psi$ (1_F) 是 F' 的乘法 identity. 由於 $\psi$ 不是 trivial, 故存在 a $\in$ F 使得 $\psi$ (a) $\ne$ 0. 然而 $\psi$ (a) = $\psi$ (a^.1_F), 利用 $\psi$ 是 ring homomorphism 我們得 $\psi$ (a) = $\psi$ (a)^. $\psi$ (1_F). 然而在 F' 中我們仍然有 $\psi$ (a)^.1_F' = $\psi$ (a), 故得 $\psi$ (a)^. $\psi$ (1_F) = $\psi$ (a)^.1_F', 也就是說

$\displaystyle \psi$ (a)^. $\displaystyle \bigl($ $\displaystyle \psi$ (1_F) - 1_F' $\displaystyle \bigr)$ = 0.

利用 F' 是一個 integral domain (Lemma 9.1.1) 且 $\psi$ (a) $\ne$ 0, 我們得證 $\psi$ (1_F) = 1_F'.

(2) 要證明 $\psi$ 是一對一的等價於要證明 ker( $\psi$ ) = $\bigl($ 0 $\bigr)$ (Lemma 6.3.4). 然而因 ker( $\psi$ ) 一定是 F 的一個 ideal (Lemma 6.3.3) 且 F 中僅有 F 和 $\bigl($ 0 $\bigr)$ 這兩個 trivial ideals (Lemma 6.2.4) 所以可知 ker( $\psi$ ) = F 或 ker( $\psi$ ) = $\bigl($ 0 $\bigr)$ . 但如果 ker( $\psi$ ) = F, 表示對任意 a $\in$ F 皆使得 $\psi$ (a) = 0, 此與 $\psi$ 不是 trivial 的 ring homomorphism 相矛盾. 故知 ker( $\psi$ ) = $\bigl($ 0 $\bigr)$ , 也就是說 $\psi$ 是一對一的 ring homomorphism. $\qedsymbol$