Fermat's Last Theorem

事實上當時應稱 Fermat's Last Theorem 為一個 conjecture (猜想) 因為並沒有人給出完整的證明. 三百多年來許許多多的數學家想要證出此定理, 但一直到 1995 年才被完整的證明. 不過所用的方法牽涉到許多複雜艱深的數學理論, 當然不會是 Fermat 當初所指的方法. 由此我們可以知道 Diophantine equation 雖然僅是討論整數解的問題, 不過有的 Diophantine equation 確實牽涉到很深的數學問題.

其實解 Fermat's Last Theorem 不必考慮所有大於等於 3 的正整數. 若 n 有奇的質因數 p, 此時 n = pm, 故若 x = a, y = b, z = c 是 xⁿ + yⁿ = zⁿ 的一組正整數解, 則因 a^pm + b^pm = c^pm 知 x = a^m, y = b^m, z = c^m 是 x^p + y^p = z^p 的一組正整數解. 換言之若能證得 x^p + y^p = z^p 無正整數解, 則對任意 n = pm, xⁿ + yⁿ = zⁿ 也無正整數解. 同理若 n 無奇的質因數, 即 n = 2^r, 此時因 r $\ge$ 2 知 4| n, 所以若能證得 x⁴ + y⁴ = z⁴ 無正整數解, 則對任意 n = 2^r > 2, xⁿ + yⁿ = zⁿ 無正整數解. 因此要證明 Fermat's Last Theorem, 我們只要證明對任意奇質數 p, x^p + y^p = z^p 無正整數解, 以及 x⁴ + y⁴ = z⁴ 無正整數解即可. 目前我們無法處理奇質數的情形, 接下來我們將利用 descent 的方法證明 x⁴ + y⁴ = z⁴ 無正整數解.

証明. 我們利用 descent 的方法證明 x⁴ + y⁴ = z² 無正整數解. 假設 x = a₁, y = b₁, z = c₁ 是 x⁴ + y⁴ = z² 的一組正整數解, 我們將利用它們得到另一組正整數解 x = a₂, y = b₂, z = c₂ 且 c₁ > c₂. 如此一直下去會和正整數的 well-ordering principle 相違背, 故知原式無正整數解.

現假設 x = a₁, y = b₁, z = c₁ 是 x⁴ + y⁴ = z² 的一組正整數解. 如果 gcd(a₁, b₁) = d > 1, 由於 d| a₁ 且 d| b₁ 知 d⁴| a₁⁴ + b₁⁴ = c₁², 故得 d²| c₁. 因此 x = a₁/d, y = b₁/d, z = c₁/d² 是 x⁴ + y⁴ = z² 的一組正整數解且 c₁/d² < c₁.

若 x = a₁, y = b₁, z = c₁ 是 x⁴ + y⁴ = z² 的一組正整數解且 gcd(a₁, b₁) = 1. 此時由於 gcd(a₁², b₁², c₁) = 1 (因 gcd(a₁², b₁²) = 1) 且 x = a₁², y = b₁², z = c₁ 滿足 x² + y² = z². 利用前面討論 primitive Pythagorean triple 的結果, 不失一般性我們假設 a₁² 是奇數而 b₁² 是偶數, 亦即 x = a₁², y = b₁², z = c₁ 是一組 primitive Pythagorean triple. 故利用 Theorem 7.2.2 知存在 m, n $\in$ $\mathbb {N}$ 滿足 m > n 且 gcd(m, n) = 1 使得

a₁² = m² - n², b₁² = 2mn, c₁ = m² + n².

又由於 gcd(a₁, m, n) = 1 (因 gcd(m, n) = 1), 且 x = a₁, y = n, z = m 滿足 x² + y² = z², 故由 a₁ 是奇數之假設以及前面討論 primitive Pythagorean triple 之性質知 n 必為偶數 (且 m 為奇數), 也就是說 x = a₁, y = n, z = m 又是一組 primitive Pythagorean triple. 因此再用一次 Theorem 7.2.2 知存在 u, v $\in$ $\mathbb {N}$ 滿足 u > v 且 gcd(u, v) = 1 使得

a₁ = u² - v², n = 2uv, m = u² + v².

這裡要注意, 由於 b₁ 和 n 皆為偶數, 我們可假設 b₁ = 2b₁' 且 n = 2n'. 此時由 b₁² = 2mn 知 b₁'² = mn'. 又由於 gcd(m, n') = 1 我們知 m 和 n' 皆為某個整數之平方, 亦即存在 c₂, e $\in$ $\mathbb {N}$ 使得 m = c₂² 且 n' = e². 又由於 2e'² = 2n' = n = 2uv 以及 gcd(u, v) = 1, 我們得 u 和 v 皆為某個整數之平方, 亦即存在 a₂, b₂ $\in$ $\mathbb {N}$ 使得 u = a₂² 且 v = b₂². 因此由 m = u² + v² 即 c₂² = (a₂²)² + (b₂²)² 知 x = a₂, y = b₂, z = c₂ 是 x⁴ + y⁴ = z² 的一組正整數解. 此時因 c₁ = m² + n² > m² > c₂⁴, 知 x = a₂, y = b₂, z = c₂ 確實是另一組 x⁴ + y⁴ = z² 的正整數解且滿足 c₂ < c₁. 故利用 descent 的方法得證本定理. $\qedsymbol$

Proposition 7.2.4 告訴我們 x⁴ + y⁴ = z² 無正整數解, 我們可以輕鬆的利用這個結果證明 x⁴ + y⁴ = z⁴ 無正整數解. 這是因為若 x = a, y = b, z = c 是 x⁴ + y⁴ = z⁴ 的一組正整數解, 則 x = a, y = b, z = c² 就會是 x⁴ + y⁴ = z² 的一組正整數解. 此和 Proposition 7.2.4 相矛盾, 故有以下之結論.