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已知 a₁, a₂, a₃ 為一等差數列，而 b₁, b₂, b₃ 為一等比數列，且此六數皆為實數。試問下列哪些選項是正確的？

(1) a₁ < a₂ 與 a₂ > a₃ 可能同時成立         (2) b₁ < b₂ 與 b₂ > b₃ 可能同時成立

(3) 若 a₁ + a₂ < 0，則 a₂ + a₃ < 0             (4) 若 b₁b₂ < 0，則 b₂b₃ < 0.

(5) 若 b₁, b₂, b₃ 皆為正整數且 b₁ < b₂，則 b₁ 整除 b₂

說明:這一題可能是想用簡單的等差、等比級數的定義來檢測同學們邏輯概念. 談到邏輯概念同學可能最頭痛的是要判定對錯時, 不知何時用舉例; 何時要證明. 一般邏輯語句同學們最常見的是「若 P 則 Q」這樣的語句, 此題有兩個選項是用「可能成立」這樣的語句, 更容易讓同學混淆, 加深了困難度.

我們先用較``淺顯''的方法來說明如何來判定一個論述的對錯. 如果一個論述是用「可能」的語句, 那要說明它是對的, 你只要舉個例子說明即可; 而若一個論述是用「一定」的語句, 那麼你不能僅用舉例來說明它是對的 (除非你能舉例將所有的情況都涵蓋), 所以此時需要``證明''它是對的. 反之, 如果一個論述是用「可能」的語句但你要說明它是錯的, 那表示此論述是「不可能」對, 即「一定」不對, 所以在這情況下要依前述「一定」的情況處理(即證明它不可能對); 而若一個論述是用「一定」的語句但你要說明它是錯的, 那表示此論述是「不一定」對, 即「可能」不對, 所以在這情況下要依前述「可能」的情況處理(即舉例說明它可能不對).

現在我們就來判定此題各選項之對錯. 選項 (1) 所用的是「可能」語句, 所以認為是對的話, 僅需找到符合的例子. 試了幾個例子發現都無法找到等差數列 a₁, a₂, a₃ 滿足 a₁ < a₂ 且 a₂ > a₃, 此時應往此選項是錯的方向思考. 不過要確認此選項是錯的 (即 a₁ < a₂ 和 a₂ > a₃ 「一定」不會同時成立) 就得要證明此事. 事實上 a₁ < a₂ 表示此等差數列之公差 d = a₂ - a₁ > 0, 然而 a₃ = a₂ + d, 故得 a₃ 必大於 a₂. 因此知選項 (1) 是錯的. 至於選項 (2) 依然是 「可能」語句, 而我們很容易就找到 b₁ = - 1, b₂ = 1, b₃ = - 1 這一個公比為 -1 的等比數列滿足 b₁ < b₂ 且 b₂ > b₃, 所以選項 (2) 是對的.

後面三個選項都是「若 P 則 Q」這樣的形式. 其實「若 P 則 Q」的意思是說如果 P 發生了那麼 Q 「一定」發生, 所以這是前述的「一定」的語句. 若認為是對的則須證明才能確認是對的, 若認為是錯的僅需舉反例來推翻之.

假設 a₁, a₂, a₃ 是公差為 d 的等差數列 (即 a₂ = a₁ + d, a₃ = a₁ + 2d), 選項 (3) 是說若 2a₁ + d < 0, 則「一定」 2a₁ + 3d < 0. 很容易看出這不一定對, 因為 2a₁ < - d 並不一定會使得 2a₁ < - 3d. 因此我們只要找一個反例即可確認此選項是錯的. 當 a₁ = - 1, d = 1 時, 即 a₁ = - 1, a₂ = 0, a₃ = 1, 我們卻有 a₁ + a₂ = - 1 < 0 但 a₂ + a₃ = 1 > 0 這一個反例, 故知選項 (3) 是錯的. 選項 (4) 是說對一般公比為 r 的等比數列 b₁, b₂ = b₁r, b₃ = b₁r², 如果 b₁²r < 0, 則「一定」 b₁²r³ < 0. 然而 b₁²r < 0 表示 r < 0 (b₁ 是不為 0 的實數), 所以自然有 b₁²r³ < 0. 我們證明了選項 (4) 是對的. 選項 (5) 是說如果 b₁, b₂ = b₁r, b₃ = b₁r² 是正整數且 b₁ < b₁r, 那麼 b₁ 會整除 b₁r (即 r 為正整數). 然而依條件僅知 r = b₂/b₁ 是一個大於 1 的有理數, 沒有道理 r 一定是整數. 所以我們應以此選項是錯的方向思考. 要確認選項 (5) 是錯的, 我們僅要找一反例即可. 而 b₁ = 4, b₂ = 6, b₃ = 9 這一個公比為 3/2 的等比數列就是一個反例.