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已知實係數多項式 f (x) 與 g(x) = x³ + x² - 2 有次數大於 0 的公因式。試問下列哪些選項是正確的？

(1) g(x) = 0 恰有一實根                 (2) f (x) = 0 必有實根

(3) 若 f (x) = 0 與 g(x) = 0 有共同實根，則此實根必為 1

(4) 若 f (x) = 0 與 g(x) = 0 有共同實根，則 f (x) 與 g(x) 的最高公因式為一次式

(5) 若 f (x) = 0 與 g(x) = 0 沒有共同實根，則 f (x) 與 g(x) 的最高公因式為二次式

說明:此題談的是兩多項式的公因式, 首要的是會因式分解. 不過因為其中一個多項式是未知, 選項牽涉到邏輯的推演而增加了此題的難度.

題幹開宗明義就是要談一個未知和一個已知多項式的公因式, 既然公因式必為兩多項之因式, 所以第一步自然是將已知多項式 g(x) = x³ + x² - 2 分解開來以列出 f (x), g(x) 可能的公因式. 利用一次因式檢驗法, 我們很容易將 g(x) 分解成 (x - 1)(x² + 2x + 2). 注意因為 x² + 2x + 2 的判別式小於 0, 所以 x² + 2x + 2 無法再分解成更小次的實多項式乘積. 由此依題意 (公因式的次數大於等於 1) 我們知 f (x), g(x) 的最高公因式有可能是 x - 1, x² + 2x + 2 或是 x³ + x² - 2.

選項 (1) 是對的, 因為 x² + 2x + 2 = 0 無實根所以知 g(x) = 0 恰有一實根即 x = 1. 至於選項 (2), 由於 f (x), g(x) 的最高公因式有可能是 x² + 2x + 2, 所以 f (x) = x² + 2x + 2 這個反例就可推翻選項 (2) 這個「一定」的語句 (參見題目 8 之說明). 選項 (3) 是對的因為如果 f (x) = 0, g(x) = 0 有共同實根, 此實根必為 g(x) = 0 的唯一實根. 然而若 f (x) = 0, g(x) = 0 有共同實根, 表示 f (x), g(x) 的最高公因式不可能是 x² + 2x + 2 並未排除最高公因式是 x³ + x² - 2 的可能. 所以 f (x) = x³ + x² - 2 這個反例就可推翻選項 (4) 這個「一定」的語句. 反之, 如果 f (x) = 0 與 g(x) = 0 沒有共同實根, 則需排除最高公因式是 x - 1 和 x³ + x² - 2 之可能, 而僅剩最高公因式是 x³ + x² - 2 的情形, 故選項 (5) 是對的.