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設 n 為正整數，方程式 x² - 2x - n = 0 的兩根為 a_n 與 b_n，且 a_n > b_n。試問下列哪些選項是正確的？

(1) a_n > 0 對所有 n 皆成立            (2) a_n + b_n = 2 對所有 n 皆成立

(3) b_{n + 1} > b_n 對所有 n 皆成立

(4) $$\lim_{n\to\infty}^{}$$$${\frac{a_na_{n+1}}{n}}$$ = 1                         (5) $$\lim_{n\to\infty}^{}$$$${\frac{a_n-b_{n}}{\sqrt{n}}}$$ = 2

說明:本題基本上是考二次方程式的根以及根式的極限. 雖然有些選項可用根與係數關係處理, 不過有些選項問的是兩個不同方程式的根, 所以直接求出根來解比較容易.

若先從根與係數關係思考, 我們知 a_n + b_n = 2 且 a_nb_n = - n. 既然 a_nb_n < 0 (n 是正整數) 且 a_n > b_n, 依此可知 a_n > 0. 所以選項 (1), (2) 皆可由根與係數關係得知. 選項 (5) 也可由根與係數關係著手, 這是因為 a_n > b_n 所以 a_n - b_n = $\sqrt{(a_n+b_n)^2-4a_nb_n}$ = 2$\sqrt{n+1}$, 最後再求極限即可. 選項 (3),(4) 因考慮的是不同的方程式之根, 無法直接由根與係數關係判斷, 所以我們還是乖乖地將 a_n, b_n 的通式求出較實際.

依公式解, 我們知 a_n = 1 + $\sqrt{n+1}$ 且 b_n = 1 - $\sqrt{n+1}$, 所以依 $\sqrt{x}$ 在 x > 0 時是遞增的知 b_n = 1 - $\sqrt{n+1}$ > 1 - $\sqrt{n+2}$ = b_{n + 1}. 最後我們就是要探討選項 (4), (5) 這兩個根式的極限, 順便討論一下極限的運算性質. 我們常用的極限運算性質如下: 假設 $$\lim_{n\to\infty}^{}$$a_n = a 且 $$\lim_{n\to\infty}^{}$$b_n = b, 則我們有

加法性質

$$\lim_{n\to\infty}^{}$$(a_n + b_n) = a + b

乘法性質

$$\lim_{n\to\infty}^{}$$(a_nb_n) = ab

特別當對任意的 n 皆有 b_n$\ne$ 0 且 b$\ne$ 0 時, 我們有

除法性質

$$\lim_{n\to\infty}^{}$$$${\frac{a_n}{b_n}}$$ = $${\frac{a}{b}}$$

還有一個常用的性質為

平方根性質

$$\lim_{n\to\infty}^{}$$$$\sqrt{a_n}$$ = $$\sqrt{a}$$

在高中階段的極限問題幾乎用以上性質就能解決. 例如選項 (5) 中 (a_n - b_n)/$\sqrt{n}$ = 2$\sqrt{n+1}$/$\sqrt{n}$, 由於分母 $\sqrt{n}$ 當 n 趨近於無窮大時其極限不存在, 所以我們不能套用極限的除法性質處理這個極限. 但若我們將 $\sqrt{n+1}$/$\sqrt{n}$ 寫成 $\sqrt{1+(1/n)}$. 由於 $$\lim_{n\to\infty}^{}$$(1 + (1/n)) 利用極限的加法性質, 其極限為 1, 故利用平方根性質我們得 $$\lim_{n\to\infty}^{}$$$$\sqrt{1+(1/n)}$$ = $$\sqrt{1}$$ = 1, 也因此得知

$$\lim_{n\to\infty}^{}$$$${\frac{a_n-b_{n}}{\sqrt{n}}}$$ = $$\lim_{n\to\infty}^{}$$$${\frac{2\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}}$$ = $$\lim_{n\to\infty}^{}$$2$$\sqrt{\frac{n+1}{n}}$$ = 2.

至於選項 (4) 由於 a_na_{n + 1}/n 的分母當 n 趨近於無窮大時其極限不存在, 所以我們不能套用極限的除法性質處理這個極限. 但我們可以將 a_na_{n + 1}/n 拆成 (a_n/$\sqrt{n}$)(a_{n + 1}/$\sqrt{n}$), 且若能知道當 n 趨近於無窮大時 a_n/$\sqrt{n}$ 和 a_{n + 1}/$\sqrt{n}$ 的極限皆存在, 則我們可用極限的乘法性質得到此極限. 然而 a_n/$\sqrt{n}$ = (1 + $\sqrt{n+1}$)/$\sqrt{n}$, 我們依然不能用極限的除法性質, 所以再將 a_n/$\sqrt{n}$ 拆成 (1/$\sqrt{n}$) + ($\sqrt{n+1}$/$\sqrt{n}$). 由於

$$\lim_{n\to\infty}^{}$$$${\frac{1}{\sqrt{n}}}$$ = $$\lim_{n\to\infty}^{}$$$$\sqrt{\frac{1}{{n}}}$$ = 0    以及    $$\lim_{n\to\infty}^{}$$$${\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}}$$ = $$\lim_{n\to\infty}^{}$$$$\sqrt{\frac{n+1}{{n}}}$$ = $$\lim_{n\to\infty}^{}$$$$\sqrt{1+\frac{1}{n}}$$ = 1.

所以利用極限加法性質知當 n 趨近於無窮大時 a_n/$\sqrt{n}$ 的極限為 1. 同理 a_{n + 1}/$\sqrt{n}$ 的極限亦為 1, 故由極限的乘法性質得知

$$\lim_{n\to\infty}^{}$$$${\frac{a_na_{n+1}}{n}}$$ = $$\lim_{n\to\infty}^{}$$$${\frac{a_n}{\sqrt{n}}}$$$${\frac{a_{n+1}}{\sqrt{n}}}$$ = 1.

當然了, 我們也可將 a_na_{n + 1} = (1 + $\sqrt{n+1}$)(1 + $\sqrt{n+2}$) 乘開再如前面方法拆成分式加法處理極限, 也就是說

$$\lim_{n\to\infty}^{}$$$${\frac{a_na_{n+1}}{n}}$$ = $$\lim_{n\to\infty}^{}$$$${\frac{1}{n}}$$ + $$\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}$$ + $$\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}$$ + $$\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}$$ = 1

這樣較麻煩且處理原則相同, 我們就不再贅述.

本題的所涉及的極限概念, 重點不在於它有根式, 而是它的分式. 根式的極限問題所用的 $\sqrt{x}$ 的連續性, 大部分同學都能理解, 應該不困難. 而分式的極限就必須處理無法使用極限除法性質的情形, 也就是分母的極限不存在或為 0. 本題中由於分母是單項式, 所以我們將原分式化成一些分式的加法再用極限的加法性質處理. 當分式的分母不是單項式時, 就較麻煩了, 等我們以後碰到類似問題再探討.