分類

一般來說要將一個集合分類必須符合以下三個要素. 第一個就是, 自己和自己是同類的; 另一要素是若甲和乙是同類的則乙也必須和甲是同類的; 最後一個要素是如果甲和乙同類且乙和丙同類, 則甲必須和丙同類. 很多同學應該知道這樣的分類同類間的關係稱之為 equivalence relation. 我們還是用數學的方法給 equivalence relation 正式的定義.

Definition 2.1.1   若一集合 S 中我們用 a $\sim$ b 表示 a 和 b 是同類的, 則這樣的分類若符合以下性質我們稱之為 equivalence relation:

(equiv1)

對所有 a $\in$ S, 我們都有 a $\sim$ a (reflexivity).

(equiv2)

若 a $\sim$ b, 則 b $\sim$ a (symmetry).

(equiv3)

若 a $\sim$ b 且 b $\sim$ c, 則 a $\sim$ c (transitivity).

有些同學可能會覺得奇怪既然 (equiv2) 說: 若 a $\sim$ b 則 b $\sim$ a. 那麼再利用 (equiv3) 我們可得 a $\sim$ a. 為什麼還要強調 (equiv1) 呢? 主要原因是 (equiv1) 強調是 S 中的任一元素 a 都須符合 a $\sim$ a. 如果我們只要求 (equiv2) 和 (equiv3), 那麼如果 S 中有一元素 a 在 S 中找不到任何的元素 b 使得 a $\sim$ b, 那麼 a 就不一定滿足 a $\sim$ a 了. 因此會造成有的元素有可能沒有被分類到. 而符合 equivalence relation 的分類就確保每一個元素都會被分到某一類 (不過有可能某一類中只有一個元素).

到底用 equivalence relation 分類有什麼好處呢? 首先當然是如前所說由 (equiv1) 可得每一個元素都會被分到某一類. 另外由 (equiv2) 和 (equiv3) 知兩個不同類的集合不會有交集; 這是因為如果 b 在 A 類且在 B 類中, 則在 A 類中的任一元素 a 因和 b 是同類的故 a $\sim$ b 而 B 類中的任一元素 c 因也和 b 同類故 b $\sim$ c. 故由 (equiv2) 和 (equiv3) 知 a $\sim$ c. 也就是說 A 中的所有元素和 B 中的所有元素都同類. 這和 A 與 B 是不同類的假設相矛盾。

這樣的分類到底有什麼好處呢? 它可以幫我們計算一個有限集合的個數. 事實上我們有以下的 Lemma.

Lemma 2.1.2   假設 S 是一個有限集合, 且用一個 equivalence relation 將其分成 C₁,..., C_n 等不同的類別. 若 | S| 及 | C_i| 表示這些集合的元素的個數, 則

| S| = $$\sum_{i=1}^{n}$$| C_i|.

証 明. 由前面說明已知利用 (equiv2) 和 (equiv3) 可得: 當 i$\ne$j 時, C_i $\cap$ C_j = $\emptyset$. 也就是說這些 C_i 是兩兩不相交的. 再加上由 (equiv1) 知每個 S 中的元素都會落在某個 C_i 中, 所以 S 的元素的個數剛好是這些 C₁,..., C_n 的元素個數之和. $\qedsymbol$

這個 Lemma 2.1.2 和 group 會有什麼關係呢? 若 H 是 group G 的一個 subgroup, 我們可以利用 H 對 G 中的元素定義一種分類的方法. 當然我們希望這種分類法是一個 equivalence relation, 因此可以用 Lemma 2.1.2 來算出 G 的個數.

怎樣利用 H 來定一個 equivalence relation 呢? 我們定 a $\sim$ b 如果 a^{-1 .} b $\in$ H. 也就是說如果 a^{-1 .} b $\in$ H, 則我們就說 a 和 b 是同類的. 這樣的分類會符合 equivalence relation 的三要素嗎? 我們一個一個來檢查:

首先, 給訂任一 G 中的元素 a, 由於 a^{-1 .} a = e, 且 H 是 subgroup 所以 e $\in$ H. 因此 a^{-1 .} a $\in$ H. 也就是說 a $\sim$ a. 這證明了 (equiv1).

再來, 如果 a $\sim$ b, 也就是說 a^{-1 .} b $\in$ H. 則因 H 是 subgroup, 由 a^{-1 .} b $\in$ H 可得

(a^{-1 .} b)^-1 = b^{-1 .} (a^-1)^-1 = b^{-1 .} a $$\in$$ H.

也就是說 b $\sim$ a. 這證明了 (equiv2).

最後, 若 a $\sim$ b 且 b $\sim$ c, 則 a^{-1 .} b $\in$ H 且 b^{-1 .} c $\in$ H. 再由 subgroup 的封閉性 (SGP1), 我們可得

(a^{-1 .} b) ^. (b^{-1 .} c) = a^{-1 .} c $$\in$$ H.

換句話說 a $\sim$ c, 所以我們證了 (equiv3).

既然這個分類法是一個 equivalence relation. 由 Lemma 2.1.2, 如果 G 是一個 finite group, 我們只要想辦法算出這種分類法之下每一類的個數, 就可以算出 G 的個數.