Lagrange's Theorem

Lemma 2.2.1 如果 G 是一個 group, H 是其 subgroup. 若利用 a^{-1 .}b $\in$ H 則 a 和 b 同類 (a $\sim$ b) 的方法來將 G 分類, 則和 a 同類的元素所成的集合為

a^.H = {a^.h | h $\displaystyle \in$ H}.

倘若 H 是一個 finite subgroup, 則和 a 同類的元素的個數和 H 的元素個數一樣多.

証明. 若 a 和 b 同類, 則表示 a $\sim$ b. 故 a^{-1 .}b = h 且 h $\in$ H. 所以 b = a^.h $\in$ a^.H. 反之, 若 b $\in$ a^.H, 則表示在 H 中可找到一元素 h 使得 b = a^.h. 故 a^{-1 .}b = h $\in$ H. 也就是說 a 和 b 同類.

前面提過要證明兩個集合有相同的元素個數最好的方法就是在兩集合中找到 1-1 且 onto 的函數. 因為和 a 同類的元素所成的集合是 a^.H, 所以我們只要找到一個函數從 H 送到 a^.H 且證明這個函數是 1-1 且 onto 就可. 給定任一 h $\in$ H, 我們可以定義 f (h) = a^.h. 這樣一來 f : H $\to$ a^.H 就是一個從 H 到 a^.H 的函數. 給定任一 y $\in$ a^.H, 由定義知必可找到一 h $\in$ H 使得 y = a^.h. 因此我們得 f (h) = y, 也就是說 f 是 onto. 假設 h $\ne$ h' 是 H 中任兩個相異元素, 則 f (h) = a^.h 和 f (h') = a^.h' 是 a^.H 中兩相異元素. 這是因為如果 a^.h = a^.h', 則兩邊同乘 a^-1, 可得 h = h' 而與當初假設 h $\ne$ h' 矛盾. 這證明了 f 是一對一的, 也因此證得了 H 和 a^.H 有相同的元素個數. $\qedsymbol$

現在如果 G 是一個 finite group 且 H 是其 subgroup, 其中 G 的 order 為 n, H 的 order 為 m. 如果用我們一直討論的分類方法利用 H 可將 G 分成 k 類, 由 Lemma 2.2.1 知每一類共有 m 個元素, 再由 Lemma 2.1.2 知 G 的個數 n = m^.k. 所以我們證得了以下 Lagrange's Theorem.

這裡要注意的是: 一般同學們最常犯的錯是以為 Lagrange's Theorem 的逆命題是對的. 其實不然! 也就是說若 G 的 order 為 n, 且 m | n, 並不表示一定存在一個 G 的 subgroup H 使得 H 的 order 為 m. 另外要注意的是: Lagrange's Theorem 只適用於 G 是一個 finite group. 若 G 的個數是無窮大時, 我們無從得知 H 個數的訊息. 此時 H 的 order 有可能為 $\infty$ , 或是任何的正整數.

Lagrange's Theorem 有許多的應用我們先介紹一個特殊的狀況的應用, 更一般的狀況我們留到下一節討論.

証明. 我們複習一下: G 是一個 cyclic group 且 a generates G 表示 a 產生的 cyclic group $\langle$ a $\rangle$ 就是 G. 今若 a 不是 identity, 則 $\langle$ a $\rangle$ 的 order 必不等於 1, 因為已知 $\langle$ a $\rangle$ 中必有 e 和 a 這兩個元素. 但由 Lagrange's Theorem (2.2.2) 知 | $\langle$ a $\rangle$ | 一定是 | G| = p 的一個因數. 但是 p 是個質數, 其因數只有 1 及 p. 故可得 | $\langle$ a $\rangle$ | = p. 既然 $\langle$ a $\rangle$ 是 G 的 subgroup 且它們的個數又相等, 故得 $\langle$ a $\rangle$ = G. $\qedsymbol$