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元素的 order

前面定義過一個 group 的 order 為其元素的個數. 而一個 group 中的元素 a, 其產生的 cyclic group $ \langle$a$ \rangle$ 的 order 就稱為此元素 a 的 order. 我們記為 ord(a). 若 G 為一個 group 且 a $ \in$ G, 由 Lagrange's Theorem 知 ord(a) | | G|. 因此若我們知 G 中元素的 order 或多或少就可知道 G 的 order 的一些訊息, 反之亦然.

以下的 Lemma 給我們一個明確的方法來計算一個元素的 order.

Lemma 2.3.1   令 a 為一個 group G 中的元素, eG 的 identity. 假設 n $ \in$ $ \mathbb {N}$ 是最小的正整數使得 an = e, 則 ord(a) = n.

証 明. 我們要證明當 n 是最小的正整數使得 an = e $ \langle$a$ \rangle$n 個元素. 事實上我們要證明 $ \langle$a$ \rangle$ = {e, a, a2,..., an - 1}. 首先回顧 $ \langle$a$ \rangle$ 中的元素都是 ak, k $ \in$ $ \mathbb {Z}$ 這種形式. 利用整數的餘數定理: 當 n > 1 時, 可以找到整數 hr 使得 k = h . n + r, 其中 0$ \le$r < n. 因此

ak = ah . n + r = (an)h . ar = e . ar = ar.

換句話說我們利用 an = e 得到 $ \langle$a$ \rangle$ 中的元素可表為 ar, 0$ \le$r < n 這種形式, 也就是說 $ \langle$a$ \rangle$ = {e, a, a2,..., an - 1}. 但這並不表示 $ \langle$a$ \rangle$n 個元素, 除非我們知道它們都相異. 因此我們還得證明當 0$ \le$i < j < n 時, ai$ \ne$aj. 別忘了我們尚未用到 n 是最小的這個性質. 如果 0$ \le$i < j < nai = aj, 則 aj - i = aj . a-i = e. 但 j - i $ \in$ $ \mathbb {N}$n > j - i. 這和 n 是最小的正整數使得 an = e 矛盾. 故 aj$ \ne$ai. 也就是說 $ \langle$a$ \rangle$ 的 order 為 n. $ \qedsymbol$

假設 a 的 order 為 n. 由 n 是最小的正整數使得 an = e 這個性質知如果 m $ \in$ $ \mathbb {N}$am = e, 則 m$ \ge$n. 事實上我們可得到 mn 更好的關係式.

Lemma 2.3.2   令 a 為 group G 中的一元素. 若 am = e, 則 ord(a) | m.

証 明. 假設 ord(a) = n. 利用整數的餘數定理, 存在整數 hr, 其中 0$ \le$r < n 使得 m = n . h + r. 故得

am = an . h . ar = e . ar = ar.

也就是說 ar = e. 如果 r$ \ne$ 0, 則 r 是一個比 n 還小的正整數使得 ar = e. 此和 Lemma 2.3.1 相違背. 故知 r = 0; 換句話說 n 可整除 m. $ \qedsymbol$

當然了, 從若 am = en | m 這個性質我們可推得 n 是最小的正整數滿足 an = e. 所以整合 Lemma 2.3.1 及 Lemma 2.3.2, 當我們要說 ord(a) = n 時, 我們只要驗證:

  1. an = e.
  2. am = en | m.

下一個 Proposition 不但是一個很有用的定理, 而且其證明可以幫助我們了解前面提到如何驗證一個元素的 order 的方法.

Proposition 2.3.3   令 a 為 group G 中的一元素. 若 ord(a) = n, 則對於任意的整數 i,

ord(ai) = $\displaystyle {\frac{n}{\gcd(i,n)}}$.

証 明. 為了方便, 我們令 d = gcd(i, n). 欲證明 ord(ai) = n/d, 首先得證明 (ai)n/d = e. 事實上因為 di 的因數, i/d 是個整數. 再加上由假設 na 的 order, 故 an = e. 所以可得 (ai)n/d = (an)i/d = e.

接下來我們須證明, 若 (ai)m = e (n/d ) | m. 若 (ai)m = e, 即 ami = e. 故由 Lemma 2.3.2, 我們可得 n | mi. 但因 dni 的最大公因數. 我們有 n/di/d 皆為整數且互質. 故由 n | mi 可得 (n/d ) | m(i/d ). 再由 n/di/d 互質, 得 (n/d ) | m.

$ \qedsymbol$

讓我們回到 Lagrange's Theorem 的應用. 若 G 是一個 finite group, 而 a $ \in$ G, 則 Lagrange's Theorem (2.2.2) 告訴我們說: $ \langle$a$ \rangle$ 的 order 整除 G 的 order. 也就是說若 a 的 order 為 m, G 的 order 為 n, 則存在 r $ \in$ $ \mathbb {N}$ 使得 n = m . r. 又因 a 的 order 為 m, 由 Lemma 2.3.1am = e. 故 an = amr = (am)r = e. 因此我們有以下重要的結果.

Corollary 2.3.4   若 G 是一個 finite group, 且其 order 為 n. 令 a $ \in$ GG 中一元素. 則 an = e.


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Administrator 2005-06-18