元素的 order

証明. 我們要證明當 n 是最小的正整數使得 aⁿ = e 則 $\langle$ a $\rangle$ 有 n 個元素. 事實上我們要證明 $\langle$ a $\rangle$ = {e, a, a²,..., a^{n - 1}}. 首先回顧 $\langle$ a $\rangle$ 中的元素都是 a^k, k $\in$ $\mathbb {Z}$ 這種形式. 利用整數的餘數定理: 當 n > 1 時, 可以找到整數 h 和 r 使得 k = h^.n + r, 其中 0 $\le$ r < n. 因此

a^k = a^{h^.n + r} = (aⁿ)^{h .}a^r = e^.a^r = a^r.

換句話說我們利用 aⁿ = e 得到 $\langle$ a $\rangle$ 中的元素可表為 a^r, 0 $\le$ r < n 這種形式, 也就是說 $\langle$ a $\rangle$ = {e, a, a²,..., a^{n - 1}}. 但這並不表示 $\langle$ a $\rangle$ 有 n 個元素, 除非我們知道它們都相異. 因此我們還得證明當 0 $\le$ i < j < n 時, aⁱ $\ne$ a^j. 別忘了我們尚未用到 n 是最小的這個性質. 如果 0 $\le$ i < j < n 且 aⁱ = a^j, 則 a^{j - i} = a^{j .}a^-i = e. 但 j - i $\in$ $\mathbb {N}$ 且 n > j - i. 這和 n 是最小的正整數使得 aⁿ = e 矛盾. 故 a^j $\ne$ aⁱ. 也就是說 $\langle$ a $\rangle$ 的 order 為 n. $\qedsymbol$

假設 a 的 order 為 n. 由 n 是最小的正整數使得 aⁿ = e 這個性質知如果 m $\in$ $\mathbb {N}$ 且 a^m = e, 則 m $\ge$ n. 事實上我們可得到 m 與 n 更好的關係式.

証明. 假設 ord(a) = n. 利用整數的餘數定理, 存在整數 h 及 r, 其中 0 $\le$ r < n 使得 m = n^.h + r. 故得

a^m = a^{n^.h .}a^r = e^.a^r = a^r.

也就是說 a^r = e. 如果 r $\ne$ 0, 則 r 是一個比 n 還小的正整數使得 a^r = e. 此和 Lemma 2.3.1 相違背. 故知 r = 0; 換句話說 n 可整除 m. $\qedsymbol$

當然了, 從若 a^m = e 則 n | m 這個性質我們可推得 n 是最小的正整數滿足 aⁿ = e. 所以整合 Lemma 2.3.1 及 Lemma 2.3.2, 當我們要說 ord(a) = n 時, 我們只要驗證:

下一個 Proposition 不但是一個很有用的定理, 而且其證明可以幫助我們了解前面提到如何驗證一個元素的 order 的方法.

Proposition 2.3.3 令 a 為 group G 中的一元素. 若 ord(a) = n, 則對於任意的整數 i,

ord(aⁱ) = $\displaystyle {\frac{n}{\gcd(i,n)}}$ .

証明. 為了方便, 我們令 d = gcd(i, n). 欲證明 ord(aⁱ) = n/d, 首先得證明 (aⁱ)^n/d = e. 事實上因為 d 是 i 的因數, i/d 是個整數. 再加上由假設 n 為 a 的 order, 故 aⁿ = e. 所以可得 (aⁱ)^n/d = (aⁿ)^i/d = e.

$\qedsymbol$

讓我們回到 Lagrange's Theorem 的應用. 若 G 是一個 finite group, 而 a $\in$ G, 則 Lagrange's Theorem (2.2.2) 告訴我們說: $\langle$ a $\rangle$ 的 order 整除 G 的 order. 也就是說若 a 的 order 為 m, G 的 order 為 n, 則存在 r $\in$ $\mathbb {N}$ 使得 n = m^.r. 又因 a 的 order 為 m, 由 Lemma 2.3.1 知 a^m = e. 故 aⁿ = a^mr = (a^m)^r = e. 因此我們有以下重要的結果.