next up previous
�U�@��: Group Homomorphisms �W�@��: ���� Group ���ʽ� �e�@��: ������ order


Normal Subgroups �M Quotient Groups

�� H �O G �� subgroup ��, �e�����йL�ڭ̥i�H�� a-1 . b $ \in$ H ����k�N G ����. �p�G�ڭ̱N�P�������������_�Ӭݦ��@�Ӥ���, ����o�ӷs�����X�������N����� G �֦h�F. �p�G��b�o�ӷs���X�W�w�q�@�ӹB��M��� G ���B�⦳��, ����o�Ӥp�@�I�����X�Φh�Τ֯����U�ڭ̤F�Ѥ@�Ǧ��� G ���ʽ�. ��˨өw�o�ӹB��O? ���w a $ \in$ G, �Y $ \overline{a}$ ���ܩҦ��M a �P���������Ҧ������X. ����n�p��w $ \overline{a}$ . $ \overline{b}$ �O? �ܦ۵M���ڭ̷|�Ʊ�w�� $ \overline{a\cdot b}$. �]�N�O���ڭ̧Ʊ�M a �P�����������H�M b �P���������|�M a . b �P��. �@������o�O���@�w�諸, ���D H ���@�ǯS��. �{�b�N���ڭ̽ͽ� H �n����˪��S�ʤ~��F��ڭ̪��Ʊ�.

�����Y a �M a' �P��, b �M b' �P��; �]�N�O�� a-1 . a' = h1 $ \in$ H �B b-1 . b' = h2 $ \in$ H. �h a' . b' = (a . h1) . (b . h2). �n��ˤ~��O�� a . b �M a' . b' �P���O? �]�N�O��

(a . b)-1 . (a' . b') $\displaystyle \in$ H?

�ƹ�W

(a . b)-1 . (a' . b') = (b-1 . a-1) . (a . h1) . (b . h2) = (b-1 . h1 . b) . h2.

�ҥH�n�D a . b �M a' . b' �P��, �]�N�O�n�D (b-1 . h1 . b) . h2 $ \in$ H. �S�] h2 $ \in$ H, �o���P��n�D b-1 . h1 . b $ \in$ H. ���O�O�ѤF, �ڭ̧Ʊ�o�O�����N�� a $ \sim$ a' �M b $ \sim$ b' ����, �ҥH�o�� b �i�H�O G �����N������, �P�˪� h1 �i�H�O H �������N����. �]���ڭ̫ܦ۵M�����U�C���w�q:

Definition 2.4.1   �Y H �O G ���@�� subgroup �B H ������Ҧ��� a $ \in$ G �� h $ \in$ H ���� a-1 . h . a $ \in$ H. �h�� H �� G ���@�� normal subgroup.

�d�U�n�O�o�o�̧ڭ̭n�D�� G �����Ҧ��������n�ŦX�o�өʽ�. �p�G�N�W���w�q�� a �� a-1 ���N, �h normal ������|�ܦ� (a-1)-1 . h . a-1 = a . h . a-1 $ \in$ H. �����ѥ� a . h . a-1 $ \in$ H �o�өw�q, ��곣�O�@�˪�. �ڭ̥H��|�]���D����K�ʨ�ش�����ܨϥ�.

Remark 2.4.2   ��@�� group �ڭ̭Y�n����� normal ���ʽ�, �h�@�w�n�T��������O�b���@�� group ���U�O normal ��. �P�Ǹg�`�|��H�U���X�ر��p�d�V, �ڭ̯S�O�⥦�̦C�X��: ���]���T�� groups, N, H, G, �B N $ \subseteq$ H $ \subseteq$ G.

(1) �p�G�w�� N �O G �� normal subgroup, ���� N �]�|�O H �� normal subgroup. �o�O�]���Y n $ \in$ N, h $ \in$ H, �h�ѩ� h �]�b G ��, �ҥH�� N �b G �� normal �� h-1 . n . h $ \in$ N.

(2) �p�G�w�� N �b H �� normal, ���� N ���@�w�b G �� normal. �o�O�]�� G ���i�঳�������b H ��. �ҥH�ڭ̤����O�Ҧ� g $ \in$ G ���|�ŦX g-1 . n . g $ \in$ N.

(3) �p�G�w�� H �b G �� normal, ���� N ���@�w�b G �� H �� normal. �o�O�]�����M�i�� n $ \in$ N �o�� n $ \in$ H. ���ަp��, �Q�� H �b G �� normal, �ڭ̶ȯ�o�� g-1 . n . g $ \in$ H, �Ӥ��O�b N.

(4) �p�G�w�� N �b H �� normal �B H �b G ��normal, ���� N �٬O���@�w��b G �� normal. �o�Q�ΩM (2), (3) �ۦP�������N�i��.

�����ѲߺD�ζ��X���覡�Ӫ��� normal. �]�N�O�� N �b G normal ���� $ \forall$ a $ \in$ G, a-1 . N . a $ \subseteq$ N. �o�M�ڭ̫e���Τ����өw�q�O�@�˪�. �٦����ѩw�q normal subgroup �O�n�D: $ \forall$ a $ \in$ G, a-1 . N . a = N. �o�˪��w�q�ݦ��������j���L���O�@�˪�. �D�n����]�O�J�M���Ҧ��� a $ \in$ G, a-1 . N . a $ \subseteq$ N. �ҥH�b������O���W a �M a-1 �o

N = a . (a-1 . N . a) . a-1 $\displaystyle \subseteq$ a . N . a-1.

�]�N�O�� N = a . N . a-1, �P�z�o a-1 . N . a = N.

�ҥH���A�n�ҩ��@�� group N �O G �� normal subgroup ��, �A�u�n�ҩ� a . N . a-1 $ \subseteq$ N �N�n, �M�ӭY�A�w�� N �b G �� normal ��, ���A���M�i�H�� a . N . a-1 = N �o�ӵ����F. ��������V�j�V�n�ΰ�!

�Y N �O G �� normal subgroup, �h�Τ������g�k�ڭ̥i�H�g��: ���Ҧ� g $ \in$ G, n $ \in$ N ���i��� n' $ \in$ N �ϱo g . n = n' . g (�άO��� n'' $ \in$ N �ϱo n . g = g . n''). ���M�F�Y G �O abelian, �h�� n' = n (�� n'' = n) ��, �W������������. �]�N�O��:

Lemma 2.4.3   �� G �O�@�� abelian group ��, �Ҧ��� subgroup ���O normal subgroup.

�{�b�^��ڭ̦Ҽ{ normal subgroup ���u���ت�. �ڭ̷Q�Q�� G �ӳгy�t�@�Ӥp�@�I�� group �����U�ڭ̤F�� G. ���w�@�� subgroup N �Y�ڭ̦Ҽ{�Ϋe����������k�� N �N G �����M��N�P���������Ҧ������X�ݦ��@�ӷs������, ����q���X���[�I�Ӭݳo�Ƿs�������Ҧ������X�۵M���� G �p. �Ҧp�e���b�ҩ� Lagrange �w�z��, �ڭ̪��D�Y G �O finite group �h�i�� N �N G ���� | G|/| N| ��. �ҥH�b�o���p�U�s�����X�N�u�� | G|/| N| �Ӥ����F. �M�ӭY N �O G �� normal subgroup ��, �e������ڭ̴N�i�H���o�@�ӷs�����X�@�ӹB��. �]�N�O���Y $ \overline{a}$ �O�P a �P���������Ҧ������X, $ \overline{b}$ �O�P b �P���������Ҧ������X, �h�ڭ̩w $ \overline{a}$ . $ \overline{b}$ = $ \overline{a\cdot b}$. (�A���j�դ@�w�n�O normal subgroup �w�X���B��~�O well defined. �_�h�M a �P�����������H�M b �P�����������@�w�M a . b �P��.) �ڭ̱N�����o�@�ӹB�⵹�F�o�ӷs�����X�@�� group �����c. �o�ӷs�� group �ڭ̺٤��� the quotient group of G by N (�����Ѻ٧@ factor group), �O�@: G/N.

(GP1)
�Y $ \overline{a}$$ \overline{b}$ $ \in$ G/N, �h�ѩ� a . b $ \in$ G �G $ \overline{a\cdot b}$ $ \in$ G/N. �]�N�O�� $ \overline{a}$ . $ \overline{b}$ $ \in$ G/N.

(GP2)
�ڭ̭n�ҩ� ($ \overline{a}$ . $ \overline{b}$) . $ \overline{c}$ = $ \overline{a}$ . ($ \overline{b}$ . $ \overline{c}$). �M��

($\displaystyle \overline{a}$ . $\displaystyle \overline{b}$) . $\displaystyle \overline{c}$ = $\displaystyle \overline{a\cdot b}$ . $\displaystyle \overline{c}$ = $\displaystyle \overline{(a\cdot
b)\cdot c}$,

�B

$\displaystyle \overline{a}$ . ($\displaystyle \overline{b}$ . $\displaystyle \overline{c}$) = $\displaystyle \overline{a}$ . $\displaystyle \overline{b\cdot c}$ = $\displaystyle \overline{a\cdot
(b\cdot c)}$

�A�[�W (a . b) . c = a . (b . c) �ҥH��������.

(GP3)
�ƻ�|�O G/N �� identity �O? �Y e �O G �� identity, �h��Ҧ��� $ \overline{a}$ $ \in$ G/N. �ڭ̦۵M�� $ \overline{a}$ . $ \overline{e}$ = $ \overline{a\cdot e}$ = $ \overline{a}$. �P�z $ \overline{e}$ . $ \overline{a}$ = $ \overline{e\cdot
a}$ = $ \overline{a}$. �ҥH $ \overline{e}$ �O G/N �� identity.

(GP4)
�Y $ \overline{a}$ $ \in$ G/N �ƻ�|�O $ \overline{a}$ �� inverse �O? �۫H�j�a���i�H�q��N�O $ \overline{a^{-1}}$ �F. �ڭ����� $ \overline{a}$ . $ \overline{a^{-1}}$ = $ \overline{a\cdot
a^{-1}}$ = $ \overline{e}$. �P�z $ \overline{a^{-1}}$ . $ \overline{a}$ = $ \overline{e}$. �ҥH $ \overline{a^{-1}}$ �N�O $ \overline{a}$ �� inverse. �ڭ̥i�H�O�@ ($ \overline{a}$)-1 = $ \overline{a^{-1}}$.

Example 2.4.4   Quotient group ���Ҥl�ܦh. �j�a�̱`�����Ҥl�N�O�b��ƥΥ[�k�Ҧ��� group ���� quotient group. �Ҧp 5$ \mathbb {Z}$ �N�O $ \mathbb {Z}$ ���@�� normal subgroup (�O�ѤF $ \mathbb {Z}$ �O abelian). �� $ \mathbb {Z}$/5$ \mathbb {Z}$ �N�O the quotient group of $ \mathbb {Z}$ by 5$ \mathbb {Z}$. �쩳 $ \mathbb {Z}$/5$ \mathbb {Z}$ �O�ƻ�O? ��軡�Q�� 5$ \mathbb {Z}$ �Ӥ������Ǿ�ƩM 1 �P���O? �өw�q�ӬݴN�O���� n $ \in$ $ \mathbb {Z}$ �ϱo 1 . (n)-1 $ \in$ 5$ \mathbb {Z}$. ��! �O�ѤF�ڭ̬O�ݥ[�k�s�A������W���� . �令 +, �� n-1 �令 - n. �ҥH�M 1 �P�����N�O���Ǿ�ƲŦX 1 - n $ \in$ 5$ \mathbb {N}$. �]�N�O���H 5 �l 1 �����. �Ѧ��� $ \mathbb {Z}$/5$ \mathbb {Z}$ �i�H�� {$ \overline{0}$,$ \overline{1}$,$ \overline{2}$,$ \overline{3}$,$ \overline{4}$} �Ӫ���. �䤤 $ \overline{0}$, �]�N�O�Ҧ� 5 �����ƩҦ������X, �O�� identity. �o�N�O�j�a�b��¦�ƽ׾Ǫ� congruence.


next up previous
�U�@��: Group Homomorphisms �W�@��: ���� Group ���ʽ� �e�@��: ������ order
Administrator 2005-06-18