�����Y a �M a' �P��, b �M b' �P��; �]�N�O��
a-1 . a' = h1 H �B
b-1 . b' = h2
H. �h
a' . b' = (a . h1) . (b . h2). �n��ˤ~��O�� a . b �M
a' . b'
�P���O? �]�N�O��
�d�U�n�O�o�o�̧ڭ̭n�D�� G �����Ҧ��������n�ŦX�o�өʽ�.
�p�G�N�W���w�q�� a �� a-1 ���N, �h normal ������|�ܦ�
(a-1)-1 . h . a-1 = a . h . a-1 H.
�����ѥ�
a . h . a-1
H �o�өw�q, ��곣�O�@�˪�.
�ڭ̥H��|�]���D����K�ʨ�ش�����ܨϥ�.
(1) �p�G�w�� N �O G �� normal subgroup, ���� N �]�|�O H ��
normal subgroup. �o�O�]���Y
n N, h
H, �h�ѩ� h �]�b G
��, �ҥH�� N �b G �� normal ��
h-1 . n . h
N.
(2) �p�G�w�� N �b H �� normal, ���� N ���@�w�b G �� normal.
�o�O�]�� G ���i��������b H ��. �ҥH�ڭ̤����O�Ҧ� g G
���|�ŦX
g-1 . n . g
N.
(3) �p�G�w�� H �b G �� normal, ���� N ���@�w�b G �� H ��
normal. �o�O�]�����M�i�� n N �o�� n
H. ���ަp��, �Q�� H
�b G �� normal, �ڭ̶ȯ�o��
g-1 . n . g
H, �Ӥ��O�b
N.
(4) �p�G�w�� N �b H �� normal �B H �b G ��normal, ���� N �٬O���@�w��b G �� normal. �o�Q�ΩM (2), (3) �ۦP�������N�i��.
�����ѲߺD�ζ��X���覡�Ӫ��� normal. �]�N�O�� N �b G normal ����
a
G,
a-1 . N . a
N.
�o�M�ڭ̫e���Τ����өw�q�O�@�˪�. �٦����ѩw�q normal subgroup
�O�n�D:
a
G,
a-1 . N . a = N.
�o�˪��w�q�ݦ��������j���L���O�@�˪�. �D�n����]�O�J�M���Ҧ���
a
G,
a-1 . N . a
N. �ҥH�b������O���W a
�M a-1 �o
�ҥH���A�n�ҩ��@�� group N �O G �� normal subgroup ��,
�A�u�n�ҩ�
a . N . a-1 N �N�n, �M�ӭY�A�w�� N �b G
�� normal ��, ���A���M�i�H��
a . N . a-1 = N �o�ӵ����F. ��������V�j�V�n�ΰ�!
�Y N �O G �� normal subgroup, �h�Τ������g�k�ڭ̥i�H�g��:
���Ҧ� g G, n
N ���i��� n'
N �ϱo
g . n = n' . g (�άO��� n''
N �ϱo
n . g = g . n'').
���M�F�Y G �O abelian, �h�� n' = n (�� n'' = n) ��,
�W������������. �]�N�O��:
�{�b�^��ڭ̦Ҽ{ normal subgroup ���u���ت�. �ڭ̷Q�Q�� G
�ӳгy�t�@�Ӥp�@�I�� group �����U�ڭ̤F�� G. ���w�@�� subgroup N
�Y�ڭ̦Ҽ{�Ϋe����������k�� N �N G
�����M��N�P���������Ҧ������X�ݦ��@�ӷs������,
����q���X���[�I�Ӭݳo�Ƿs�������Ҧ������X�۵M���� G �p.
�Ҧp�e���b�ҩ� Lagrange �w�z��, �ڭ̪��D�Y G �O finite group
�h�i�� N �N G ���� | G|/| N| ��.
�ҥH�b�o���p�U�s�����X�N�u�� | G|/| N| �Ӥ����F. �M�ӭY N �O G
�� normal subgroup ��,
�e������ڭ̴N�i�H���o�@�ӷs�����X�@�ӹB��. �]�N�O���Y
�O�P a �P���������Ҧ������X,
�O�P
b �P���������Ҧ������X, �h�ڭ̩w
.
=
. (�A���j�դ@�w�n�O normal
subgroup �w�X���B��~�O well defined. �_�h�M a �P�����������H�M
b �P�����������@�w�M a . b �P��.)
�ڭ̱N�����o�@�ӹB��F�o�ӷs�����X�@�� group �����c. �o�ӷs��
group �ڭ̺٤��� the quotient group of G by N
(�����Ѻ٧@ factor group), �O�@: G/N.