Normal Subgroups 和 Quotient Groups

當 H 是 G 的 subgroup 時, 前面介紹過我們可以用 a^{-1 .} b $\in$ H 的方法將 G 分類. 如果我們將同類的元素收集起來看成一個元素, 那麼這個新的集合的元素就明顯比 G 少多了. 如果能在這個新集合上定義一個運算和原來 G 的運算有關, 那麼這個小一點的集合或多或少能幫助我們了解一些有關 G 的性質. 怎樣來定這個運算呢? 給定 a $\in$ G, 若 $\overline{a}$ 表示所有和 a 同類的元素所成的集合. 那麼要如何定 $\overline{a}$ ^. $\overline{b}$ 呢? 很自然的我們會希望定成 $\overline{a\cdot b}$. 也就是說我們希望和 a 同類的元素乘以和 b 同類的元素會和 a ^. b 同類. 一般來講這是不一定對的, 除非 H 有一些特性. 現在就讓我們談談 H 要有怎樣的特性才能達到我們的希望.

首先若 a 和 a' 同類, b 和 b' 同類; 也就是說 a^{-1 .} a' = h₁ $\in$ H 且 b^{-1 .} b' = h₂ $\in$ H. 則 a' ^. b' = (a ^. h₁) ^. (b ^. h₂). 要怎樣才能保證 a ^. b 和 a' ^. b' 同類呢? 也就是說

(a ^. b)^{-1 .} (a' ^. b') $$\in$$ H?

事實上

(a ^. b)^{-1 .} (a' ^. b') = (b^{-1 .} a^-1) ^. (a ^. h₁) ^. (b ^. h₂) = (b^{-1 .} h₁ ^. b) ^. h₂.

所以要求 a ^. b 和 a' ^. b' 同類, 也就是要求 (b^{-1 .} h₁ ^. b) ^. h₂ $\in$ H. 又因 h₂ $\in$ H, 這等同於要求 b^{-1 .} h₁ ^. b $\in$ H. 但是別忘了, 我們希望這是對於任意的 a $\sim$ a' 和 b $\sim$ b' 都對, 所以這裡 b 可以是 G 中任意的元素, 同樣的 h₁ 可以是 H 中的任意元素. 因此我們很自然的有下列的定義:

Definition 2.4.1   若 H 是 G 的一個 subgroup 且 H 滿足對所有的 a $\in$ G 及 h $\in$ H 都有 a^{-1 .} h ^. a $\in$ H. 則稱 H 為 G 的一個 normal subgroup.

千萬要記得這裡我們要求對 G 中的所有元素都要符合這個性質. 如果將上面定義的 a 用 a^-1 替代, 則 normal 的條件會變成 (a^-1)^{-1 .} h ^. a^-1 = a ^. h ^. a^-1 $\in$ H. 有的書用 a ^. h ^. a^-1 $\in$ H 這個定義, 其實都是一樣的. 我們以後會因問題的方便性兩種替換選擇使用.

Remark 2.4.2   對一個 group 我們若要提到其 normal 的性質, 則一定要確切的提到是在哪一個 group 之下是 normal 的. 同學經常會把以下的幾種情況搞混, 我們特別把它們列出來: 假設有三個 groups, N, H, G, 且 N $\subseteq$ H $\subseteq$ G.

(1) 如果已知 N 是 G 的 normal subgroup, 那麼 N 也會是 H 的 normal subgroup. 這是因為若 n $\in$ N, h $\in$ H, 則由於 h 也在 G 中, 所以由 N 在 G 中 normal 知 h^{-1 .} n ^. h $\in$ N.

(2) 如果已知 N 在 H 中 normal, 那麼 N 不一定在 G 中 normal. 這是因為 G 中可能有元素不在 H 中. 所以我們不能擔保所有 g $\in$ G 都會符合 g^{-1 .} n ^. g $\in$ N.

(3) 如果已知 H 在 G 中 normal, 那麼 N 不一定在 G 或 H 中 normal. 這是因為雖然可由 n $\in$ N 得到 n $\in$ H. 不管如何, 利用 H 在 G 中 normal, 我們僅能得到 g^{-1 .} n ^. g $\in$ H, 而不是在 N.

(4) 如果已知 N 在 H 中 normal 且 H 在 G 中normal, 那麼 N 還是不一定能在 G 中 normal. 這利用和 (2), (3) 相同的解釋就可知.

有的書習慣用集合的方式來表示 normal. 也就是說 N 在 G normal 表示 $\forall$ a $\in$ G, a^{-1 .} N ^. a $\subseteq$ N. 這和我們前面用元素來定義是一樣的. 還有的書定義 normal subgroup 是要求: $\forall$ a $\in$ G, a^{-1 .} N ^. a = N. 這樣的定義看似條件比較強不過其實是一樣的. 主要的原因是既然對於所有的 a $\in$ G, a^{-1 .} N ^. a $\subseteq$ N. 所以在兩邊分別乘上 a 和 a^-1 得

N = a ^. (a^{-1 .} N ^. a) ^. a^-1 $$\subseteq$$ a ^. N ^. a^-1.

也就是說 N = a ^. N ^. a^-1, 同理得 a^{-1 .} N ^. a = N.

所以當你要證明一個 group N 是 G 的 normal subgroup 時, 你只要證明 a ^. N ^. a^-1 $\subseteq$ N 就好, 然而若你已知 N 在 G 中 normal 時, 那你當然可以用 a ^. N ^. a^-1 = N 這個等式了. 畢竟條件越強越好用啊!

若 N 是 G 的 normal subgroup, 則用元素的寫法我們可以寫成: 對於所有 g $\in$ G, n $\in$ N 都可找到 n' $\in$ N 使得 g ^. n = n' ^. g (或是找到 n'' $\in$ N 使得 n ^. g = g ^. n''). 當然了若 G 是 abelian, 則當 n' = n (或 n'' = n) 時, 上面的等式都對. 也就是說:

Lemma 2.4.3   當 G 是一個 abelian group 時, 所有的 subgroup 都是 normal subgroup.

現在回到我們考慮 normal subgroup 的真正目的. 我們想利用 G 來創造另一個小一點的 group 來幫助我們了解 G. 給定一個 subgroup N 若我們考慮用前面的分類方法用 N 將 G 分類然後將同類的元素所成的集合看成一個新的元素, 那麼從集合的觀點來看這些新的元素所成的集合自然比原來 G 小. 例如前面在證明 Lagrange 定理時, 我們知道若 G 是 finite group 則可用 N 將 G 分成 | G|/| N| 類. 所以在這情況下新的集合就只有 | G|/| N| 個元素了. 然而若 N 是 G 的 normal subgroup 時, 前面提到我們就可以給這一個新的集合一個運算. 也就是說若 $\overline{a}$ 是與 a 同類的元素所成的集合, $\overline{b}$ 是與 b 同類的元素所成的集合, 則我們定 $\overline{a}$ ^. $\overline{b}$ = $\overline{a\cdot b}$. (再次強調一定要是 normal subgroup 定出的運算才是 well defined. 否則和 a 同類的元素乘以和 b 同類的元素不一定和 a ^. b 同類.) 我們將說明這一個運算給了這個新的集合一個 group 的結構. 這個新的 group 我們稱之為 the quotient group of G by N (有的書稱作 factor group), 記作: G/N.

(GP1)

若 $\overline{a}$, $\overline{b}$ $\in$ G/N, 則由於 a ^. b $\in$ G 故 $\overline{a\cdot b}$ $\in$ G/N. 也就是說 $\overline{a}$ ^. $\overline{b}$ $\in$ G/N.

(GP2)

我們要證明 ($\overline{a}$ ^. $\overline{b}$) ^. $\overline{c}$ = $\overline{a}$ ^. ($\overline{b}$ ^. $\overline{c}$). 然而

($$\overline{a}$$ ^. $$\overline{b}$$) ^. $$\overline{c}$$ = $$\overline{a\cdot b}$$ ^. $$\overline{c}$$ = $$\overline{(a\cdot b)\cdot c}$$,

且

$$\overline{a}$$ ^. ($$\overline{b}$$ ^. $$\overline{c}$$) = $$\overline{a}$$ ^. $$\overline{b\cdot c}$$ = $$\overline{a\cdot (b\cdot c)}$$

再加上 (a ^. b) ^. c = a ^. (b ^. c) 所以等式成立.

(GP3)

甚麼會是 G/N 的 identity 呢? 若 e 是 G 的 identity, 則對所有的 $\overline{a}$ $\in$ G/N. 我們自然有 $\overline{a}$ ^. $\overline{e}$ = $\overline{a\cdot e}$ = $\overline{a}$. 同理 $\overline{e}$ ^. $\overline{a}$ = $\overline{e\cdot a}$ = $\overline{a}$. 所以 $\overline{e}$ 是 G/N 的 identity.

(GP4)

若 $\overline{a}$ $\in$ G/N 甚麼會是 $\overline{a}$ 的 inverse 呢? 相信大家都可以猜到就是 $\overline{a^{-1}}$ 了. 我們驗證 $\overline{a}$ ^. $\overline{a^{-1}}$ = $\overline{a\cdot a^{-1}}$ = $\overline{e}$. 同理 $\overline{a^{-1}}$ ^. $\overline{a}$ = $\overline{e}$. 所以 $\overline{a^{-1}}$ 就是 $\overline{a}$ 的 inverse. 我們可以記作 ($\overline{a}$)^-1 = $\overline{a^{-1}}$.

Example 2.4.4   Quotient group 的例子很多. 大家最常見的例子就是在整數用加法所成的 group 中的 quotient group. 例如 5$\mathbb {Z}$ 就是 $\mathbb {Z}$ 的一個 normal subgroup (別忘了 $\mathbb {Z}$ 是 abelian). 而 $\mathbb {Z}$/5$\mathbb {Z}$ 就是 the quotient group of $\mathbb {Z}$ by 5$\mathbb {Z}$. 到底 $\mathbb {Z}$/5$\mathbb {Z}$ 是甚麼呢? 比方說利用 5$\mathbb {Z}$ 來分類哪些整數和 1 同類呢? 照定義來看就是那些 n $\in$ $\mathbb {Z}$ 使得 1 ^. (n)^-1 $\in$ 5$\mathbb {Z}$. 錯! 別忘了我們是看加法群你必須把上式的 ^. 改成 +, 而 n^-1 改成 - n. 所以和 1 同類的就是那些整數符合 1 - n $\in$ 5$\mathbb {N}$. 也就是除以 5 餘 1 的整數. 由此知 $\mathbb {Z}$/5$\mathbb {Z}$ 可以用 {$\overline{0}$,$\overline{1}$,$\overline{2}$,$\overline{3}$,$\overline{4}$} 來表示. 其中 $\overline{0}$, 也就是所有 5 的倍數所成的集合, 是其 identity. 這就是大家在基礎數論學的 congruence.