Correspondence Theorem

Theorem 2.7.1 (Correspondence Theorem) 若 $\phi$ : G $\to$ G' 是一個 group epimorphism. 若 H' 是 G' 的 subgroup 且令

H = {a $\displaystyle \in$ G | $\displaystyle \phi$ (a) $\displaystyle \in$ H'},

則 H 是 G 的一個 subgroup 且 H $\supseteq$ ker( $\phi$ ). 另外若令

$\displaystyle \phi$ (H) = { $\displaystyle \phi$ (a) | a $\displaystyle \in$ H},

則 $\phi$ (H) = H' 且

H/ker( $\displaystyle \phi$ ) $\displaystyle \simeq$ H'.

如果又假設 H' 是 G' 的 normal subgroup. 則前面所定的 H 也會是 G 的 normal subgroup.

証明. 首先先證 H 是一個 subgroup of G. 若 a, b $\in$ H, 我們要證明 a^.b $\in$ H 且 a^-1 $\in$ H. 由定義知 a, b $\in$ H 表示 $\phi$ (a) $\in$ H' 且 $\phi$ (b) $\in$ H', 故 $\phi$ (a)^. $\phi$ (b) $\in$ H'. 又因 $\phi$ 是 group homomorphism, 故 $\phi$ (a^.b) = $\phi$ (a)^. $\phi$ (b). 因此 $\phi$ (a^.b) $\in$ H', 也就是說 a^.b $\in$ H. 另外又因 $\phi$ (a) $\in$ H' 故 $\phi$ (a)^-1 $\in$ H', 再加上 $\phi$ (a^-1) = $\phi$ (a)^-1, 可知 $\phi$ (a^-1) $\in$ H'. 故 a^-1 也在 H 中. (注意這個部分的證明只用到 $\phi$ 是 group homomorphism, 並不需要 onto.)

若 a $\in$ ker( $\phi$ ), 則 $\phi$ (a) = e'. 因 e' 是 G' 的 identity 且 H' 是 G' 的 subgroup, 當然 e' $\in$ H'. 也就是說 $\phi$ (a) $\in$ H', 故 a $\in$ H. 所以 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ H. (這部分的證明也不需 epimorphism.)

現在證 $\phi$ (H) = H'. $\phi$ (H) $\subseteq$ H' 是容易的. 主要是因 $\phi$ (H) 的元素都是 $\phi$ (a) 這種形式, 其中 a $\in$ H. 由定義 a $\in$ H, 表示 $\phi$ (a) $\in$ H'. 故 $\phi$ (H) 的元素都落在 H' 中. 很多同學都會認為 H' 的元素也會在 $\phi$ (H) 中; 一般這是不一定對的. 因為在一般的情況 b $\in$ H' 不代表有元素 a $\in$ G 使得 $\phi$ (a) = b. 這裡我們就要用到 onto 的性質了. 因為 $\phi$ 是 onto 故對任意 b $\in$ G', 當然可以找到 a $\in$ G 使得 $\phi$ (a) = b. 現在若 b $\in$ H' 那當然 b $\in$ G' 故可找到 a $\in$ G 使得 $\phi$ (a) = b. 既然 $\phi$ (a) = b $\in$ H', 這一個 a 也就在 H 中了. 所以 b = $\phi$ (a) $\in$ $\phi$ (H), 也就是說 H' $\subseteq$ $\phi$ (H). 由此得證 H' = $\phi$ (H).

$\phi$ (H) = H' 告訴我們 $\phi$ 這個函數若限制在 H 中來看是把 H onto 送到 H'. $\phi$ 對 G 中所有的元素來看是 group homomorphism, 那限制在 H 中當然是 group homomorphism. 而 $\phi$ 限制在 H 中來看它的 kernel 會是甚麼呢? 當然是在原本的 ker( $\phi$ ) 中也在 H 中的元素. 也就是 ker( $\phi$ ) $\cap$ H. 但已知 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ H 故 ker( $\phi$ ) $\cap$ H = ker( $\phi$ ). 故由 First Isomorphism Theorem 知

H/ker( $\displaystyle \phi$ ) $\displaystyle \simeq$ H'.

別忘了在 Theorem 2.6.5 已證過: 若 H' 在 G' 中 normal 則 H 在 G 中 normal. 我們這裡再給一個一般的證明(因為這不需用到 $\phi$ 是 onto.) 我們要證明若 a $\in$ H 對任意的 g $\in$ G 皆有 g^.a^.g^-1 $\in$ H. 要驗證 g^.a^.g^-1 有沒有在 H 當然就是帶入 $\phi$ 看看是否送到 H'. 然而

$\displaystyle \phi$ (g^.a^.g^-1) = $\displaystyle \phi$ (g)^. $\displaystyle \phi$ (a)^. $\displaystyle \phi$ (g)^-1.

再因 $\phi$ (g) $\in$ G', $\phi$ (a) $\in$ H' 及 H' 是 G' 的 normal subgroup, 我們有

$\displaystyle \phi$ (g)^. $\displaystyle \phi$ (a)^. $\displaystyle \phi$ (g)^-1 $\displaystyle \in$ H'.

故 $\phi$ (g^.a^.g^-1) $\in$ H', 也就是說 g^.a^.g^-1 $\in$ H. 所以 H 是 G 的 normal subgroup. $\qedsymbol$

再次強調這個定理中除了 $\phi$ (H) = H' 及 H/ker( $\phi$ ) $\simeq$ H' 需用到 $\phi$ 是 onto 外, 其他性質並不需 onto 的假設.

Remark 2.7.2 Correspondence Theorem 告訴我們說若 $\phi$ : G $\to$ G' 是一個 epimorphism, 則在 G' 中任選一個 subgroup H' 都可在 G 中找到一個 subgroup H 使得 $\phi$ (H) = H', 而且 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ H. 其實在 G 中符合 $\phi$ (H) = H' 及 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ H 的 subgroup 是唯一的. 假設 G 中有另一個 subgroup N 符合 $\phi$ (N) = H' 及 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ N. 則對於所有 a $\in$ N, 因 $\phi$ (a) $\in$ $\phi$ (N) = H', 故由假設 $\phi$ (H) = H' 知在 H 中必存在一元素 b 使得 $\phi$ (b) = $\phi$ (a). 換句話說 $\phi$ (a)^. $\phi$ (b)^-1 = e'. 由此得 $\phi$ (a^.b^-1) = e'. 也就是說 a^.b^-1 $\in$ ker( $\phi$ ). 由此知 a $\in$ ker( $\phi$ )^.b. 別忘了 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ H 且 b $\in$ H 故 ker( $\phi$ )^.b $\subseteq$ H. 所以 a $\in$ H, 也就是說 N $\subseteq$ H. 用同樣的方法 (將 H 和 N 角色互換) 可得 H $\subseteq$ N. 所以 H = N. 由上知真正的 Correspondence Theorem 是說:

若 $\phi$ : G $\to$ G' 是一個 epimorphism, 則對於 G' 中任一 subgroup H', 在 G 中皆`存在' ``唯一'' 的 subgroup H 使得 $\phi$ (H) = H' 且符合 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ H.

不過在大學的代數中我們只要用到存在性而已, 所以我們不去強調唯一性.

Correspondence Theorem 最常用的情況是當 N 是 G 的一個 normal subgroup, 而 $\phi$ 是 G 到 G/N 的 group homomorphism 其中對任意的 a $\in$ G, 定義 $\phi$ (a) = $\overline{a}$ .

証明. $\phi$ 是 group homomorphism 是因為

$\displaystyle \phi$ (a^.b) = $\displaystyle \overline{a\cdot b}$ ,

且

$\displaystyle \overline{a\cdot b}$ = $\displaystyle \overline{a}$ ^. $\displaystyle \overline{b}$ = $\displaystyle \phi$ (a)^. $\displaystyle \phi$ (b).

再證明 $\phi$ 是 onto 的, 事實上對所有 y $\in$ G/N 都是 y = $\overline{a}$ , 其中 a $\in$ G 這種形式. 故選 a $\in$ G 帶入 $\phi$ 得 $\phi$ (a) = $\overline{a}$ = y. 得證 $\phi$ 是 epimorphism.

ker( $\phi$ ) 是甚麼呢? 若 a $\in$ ker( $\phi$ ) 則 $\phi$ (a) = $\overline{e}$ , 但由 $\phi$ 的定義 $\phi$ (a) = $\overline{a}$ . 故由 $\overline{a}$ = $\overline{e}$ , 得 a $\in$ N. 反之若 a $\in$ N, 則 $\phi$ (a) = $\overline{a}$ = $\overline{e}$ , 故 a $\in$ ker( $\phi$ ). 由此得 ker( $\phi$ ) = N.

現在 Correspondence Theorem 中的條件都找到了, 所以利用 Theorem 2.7.1 知任取 G/N 中的一個 subgroup H', 在 G 中都可以找到一個 subgroup H 符合 N = ker( $\phi$ ) $\subseteq$ H 且 $\phi$ (H) = H/N = H'. $\qedsymbol$

有許多書也稱 Corollary 2.7.3 為 Correspondence Theorem. 它告訴我們 G/N 中的 subgroup 都是長 H/N 這種形式, 其中 H 是 G 的 subgroup 且 N $\subseteq$ H. G/N 中的 normal subgroup 也是有 H/N 這種形式不過其中 H 是 G 的 normal subgroup.

最後我們想利用 Correspondence Theorem 來談談 Third Isomorphism Theorem 的一個特殊狀況. 令 K 是 G 的 normal subgroup, $\phi$ : G $\to$ G/K 是定義成 $\phi$ (a) = $\overline{a}$ 的 epimorphism. 任意 G/K 中的 normal subgroup N' 由前 Corollary 2.7.3 知是由 G 中的某一 normal subgroup N 利用 $\phi$ 得到: 也就是說 N' = $\phi$ (N) = N/K. 故由 Theorem 2.6.5 我們有以下的定理通常也稱之為 Third Isomorphism Theorem.