The group A(S) and Cayley's Theorem

給定一集合 S 我們定義 A(S) 是所有從 S 到 S 的 1-1 且 onto 的函數所成的集合. 若 f, g $\in$ A(S) 那麼它們的合成函數 fog 依然是 1-1 且 onto, 所以知 fog $\in$ A(S). 因此我們就考慮合成 o 為 A(S) 中的運算. 前面已知這個運算有封閉性, 相信大家也知合成運算有結合率. 至於在這個運算之下 A(S) 的 identity 是什麼呢? 當然就是所謂的 identity function I_S 了: I_S 是一個從 S 到 S 的函數它符合 I_S(x) = x, $\forall$ x $\in$ S. 而對任意的 f $\in$ A(S) 由 1-1 和 onto 的性質知存在 g $\in$ A(S) 使得 fog = gof = I_S (即 g 是 f 的反函數), 所以知任何 A(S) 的元素其 inverse 存在. 我們說明了 A(S) 是一個 group. 下一個定理告訴我們為何 A(S) 這一個 group 這麼重要.

Theorem 3.4.1 (Cayley's Theorem)   給定任一個 group G, 則 G 會 isomorphic to A(G) 的一個 subgroup.

証 明. 這裡我們先強調在 A(G) 中我們僅將 G 視為一個集合, 所以 A(G) 是從 G 到 G 的 1-1 和 onto 的函數所成的集合而不是 group homomorphism 所成的集合.

我們現在想定一個從 G 這一個 group 到 A(G) 這一個 group 的 group homomorphism $\phi$ : G$\to$A(G). 對任意的 a $\in$ G, 我們定義 $\phi$(a) $\in$ A(S) 這一個函數為 T_a : G$\to$G, 其中對於任意的 x $\in$ G, T_a(x) = a ^. x.

我們當然要檢查 $\phi$ 是不是一個 well-defined function. 這裡唯一要檢查的就是: 是否 $\phi$(a) = T_a $\in$ A(S)? 由定義當然知道 T_a 是一個從 G 送到 G 的函數. 所以我們只要檢查是否 T_a 是一個 1-1 且 onto 的函數. 這裡千萬不要搞錯了, T_a 只是一個函數所以要證它是一對一的不能看 kernel (事實上 ker(T_a) 是無定義的). 給定任意的 b $\in$ G, 要證明 T_a 是 1-1 且 onto 就是要證明 G 中存在唯一的元素 c 使得 T_a(c) = b. 然而 T_a(x) = a ^. x, 故由 Theorem 1.2.3 知 T_a 是 1-1 且 onto.

接下來我們證明 $\phi$ : a $\mapsto$ T_a 是一個從 G 到 A(G) 的 group homomorphism. 也就是證對所有的 a, b $\in$ G, $\phi$(a ^. b) = $\phi$(a)o$\phi$(b) (別忘了 $\phi$(a) 和 $\phi$(b) 是在 A(G) 中所以它們間的乘法是 $\phi$(a)o$\phi$(b)). 要檢查 $\phi$(a ^. b) 和 $\phi$(a)o$\phi$(b) 這兩個函數是否相同, 就是要檢驗這兩個函數對定義域裡的每個元素取值是否相同. 因 $\phi$(a ^. b) = T_{a ^. b} 故對所有的 x $\in$ G, 皆有

T_{a ^. b}(x) = (a ^. b) ^. x.

而 $\phi$(a)o$\phi$(b) = T_aoT_b, 故對所有的 x $\in$ G, 皆有

T_aoT_b(x) = T_a(T_b(x)) = T_a(b ^. x) = a ^. (b ^. x).

因此由 G 的結合率知對所有的 x $\in$ G, T_{a ^. b}(x) = T_aoT_b(x). 也就是說 $\phi$(a ^. b) = $\phi$(a)o$\phi$(b).

最後證 $\phi$ 是一對一的. 已證 $\phi$ 是 group homomorphism, 所以只要證 ker($\phi$) = {e}. 若 a $\in$ ker($\phi$), 即 $\phi$(a) 為 A(G) 的 identity I_G. 換句話說, 對所有的 x $\in$ G 皆有 T_a(x) = x. 但 T_a(x) = a ^. x, 故得 a = e. 因此我們證得了 G $\simeq$ im($\phi$). 利用 Lemma 2.5.4 知 im($\phi$) 是 A(G) 的一個 subgroup, 故得證此定理. $\qedsymbol$

Cayley's Theorem 是想將抽象的 group 用具體的方法表示出來. 或許大家會疑惑: 原本 G 都不知是什麼樣子了, 用 A(G) 來表示能告訴我們什麼訊息呢? 仔細想想 A(G) 的結構, 它和 G 的 group 性質無關, 事實上只和 G 的個數有關. 換句話說當我們要了解有多少 order 為 n 的 group 時, 只要任選一個元素個數為 n 的集合 S, 再討論 A(S) 中有多少個 order 為 n 的 subgroup 就好了 (因為 Cayley's Theorem 告訴我們所有的 order 為 n 的 group 必在其中). 可惜 A(S) 這一個 group 經常是太大了. 有時是可以考慮小一點的集合 S', 不過這裡我們就不多做討論.