Zero Divisor 和 Unit

Example 5.3.2 相信大家都很了解

$\displaystyle \mathbb {Z}$ /6 $\displaystyle \mathbb {Z}$ = { $\displaystyle \overline{0}$ , $\displaystyle \overline{1}$ , $\displaystyle \overline{2}$ , $\displaystyle \overline{3}$ , $\displaystyle \overline{4}$ , $\displaystyle \overline{5}$ }

這一個 abelian group. $\overline{a}$ + $\overline{b}$ 的取值是取 a + b 除以 6 的餘數. 例如 $\overline{2}$ + $\overline{5}$ = $\overline{1}$ . 相同的我們也可以在 $\mathbb {Z}$ /6 $\mathbb {Z}$ 中定一個乘法. $\overline{a}$ ^. $\overline{b}$ 的值就是 a^.b 除以 6 的餘數. 例如 $\overline{2}$ ^. $\overline{5}$ = $\overline{4}$ . 大家很容易檢查在這樣的加法和乘法之下 $\mathbb {Z}$ /6 $\mathbb {Z}$ 是一個 ring. 其中 $\overline{0}$ 是 $\mathbb {Z}$ /6 $\mathbb {Z}$ 的 0 (加法的 identity). 因為 $\overline{2}$ $\ne$ $\overline{0}$ 且 $\overline{3}$ $\ne$ $\overline{0}$ , 但 $\overline{2}$ ^. $\overline{3}$ = $\overline{0}$ . 故由定義知 $\overline{2}$ 和 $\overline{3}$ 是 $\mathbb {Z}$ /6 $\mathbb {Z}$ 的 zero-divisor. 又因 $\overline{4}$ ^. $\overline{3}$ = $\overline{0}$ , 所以 $\overline{4}$ 也是 zero-divisor. 另� 我們可以檢查 $\overline{1}$ 和 $\overline{5}$ 乘上不等於 $\overline{0}$ 的元素都不會等於 $\overline{0}$ , 所以我們知 $\overline{1}$ 和 $\overline{5}$ 都不是 $\mathbb {Z}$ /6 $\mathbb {Z}$ 的 zero-divisor.

當 a 是一個 zero-divisor 時, 很不好的事會發生: 就是很可能 a^.x = a^.y 但是 x $\ne$ y (或是 x^.a = y^.a 但是 x $\ne$ y). 例如在 $\mathbb {Z}$ /6 $\mathbb {Z}$ 中我們不難發� $\overline{2}$ ^. $\overline{1}$ = $\overline{2}$ ^. $\overline{4}$ = $\overline{2}$ . 會導致這樣的是發生是因為若 a 是 zero-divisor, 假設 b $\ne$ 0 滿足 a^.b = 0 (或 b^.a = 0). 則

証明. 假如 a^.b = a^.c, 即 a^.b - a^.c = 0. 由 Lemma 5.2.3 知 - (a^.c) = a^.(- c) 故

0 = a^.b - a^.c = a^.b + a^.(- c) = a^.(b - c).

然而 a 不是 zero-divisor, 因此若 b - c $\ne$ 0, 則 a^.(b - c) $\ne$ 0. 故由此知 b - c = 0, 也就是說 b = c. 同理可證若 b^.a = c^.a, 則 b = c. $\qedsymbol$

總之, 當你在處理 ring 的問題時發� a $\ne$ 0 且 a^.b = a^.c 你不可以馬上下結論說 b = c, 除非你知道這個 ring 中沒有 zero-divisor. 所以一個沒有 zero-divisor 的 ring 值得特別給它一個名子.

若 R 是一個 ring with 1, 則 R 中有可能存在元素它的乘法 inverse 也在 R 中. 這樣的元素也有很特別的性質.

Example 5.3.6 在 $\mathbb {Z}$ /6 $\mathbb {Z}$ 這個 ring 中 $\overline{1}$ 是 $\mathbb {Z}$ /6 $\mathbb {Z}$ 的 1 (乘法的 identity). 因 $\overline{5}$ ^. $\overline{5}$ = $\overline{1}$ , 故 $\overline{1}$ 和 $\overline{5}$ 是 unit. 其他的元素 $\overline{0}$ , $\overline{2}$ , $\overline{3}$ , $\overline{4}$ 都不是 unit.

Lemma 5.3.7 若 R 是一個 ring with 1 且 a $\in$ R 是一個 unit, 則

a 絕對不會是 0, 也不會是 R 中的一個 zero-divisor.
對任意的 b $\in$ R, 方策� a^.x = b 和 y^.a = b 在 R 中都會有唯一的解.

証明. (1) 若 a = 0, 則由 Lemma 5.2.1 知 a 乘上 R 中任何的元素都等於 0, 故不可能找到一元素 b 使得 a^.b = 1. 此和 a 是 unit 矛盾, 所以 a $\ne$ 0.

如果 a 是一個 zero divisor, 表示存在 c $\ne$ 0 使得 a^.c = 0 或 c^.a = 0. 假設是 a^.c = 0, 由假設 a 是 unit 知 a^-1 $\in$ R, 故得

0 = a^{-1 .}(a^.c) = c.

此和 c $\ne$ 0 矛盾, 故知 a 不是 zero-divisor. 同理可證 c^.a = 0 的情況.

(2) 對任意 b $\in$ R, 由假設 a 是 unit 知 a^-1 $\in$ R, 故令 x = a^{-1 .}b $\in$ R 可得

a^.x = a^.(a^{-1 .}b) = b.

若 x' $\in$ R 也滿足 a^.x' = b, 也就是說 a^.x = a^.x', 則由 (1) 知 a 不是 zero-divisor 再加上 Lemma 5.3.3 知 x = x'. 因此可知 a^.x = b 在 R 中存在唯一的解. 同理 y^.a = b 在 R 中也有唯一的解. $\qedsymbol$

我們強調一下, 一個 ring 中的 unit 絕對不是 zero-divisor, 不過若一個元素不是 zero-divisor 並不表示它會是 unit. 例如在 $\mathbb {Z}$ 中 2 不是 zero-divisor, 但它也不是 $\mathbb {Z}$ 的 unit.

由 Lemma 5.3.7 知在 R 中 0 絕對不會是一個 unit. 如果除了 0 以� 其他的元素都是 unit 這麼特別的 ring 也值得給它一個特別的名子.

最後我們要強調: 如果 R 是一個 division ring, 則由於 R 中的非 0 元素都是 unit 所以都不是 zero-divisor. 因此兩個非 0 元素相乘都不等於 0. 也就是 R 中非 0 的元素所成的集合在乘法之下是封閉的. 再加上這些元素都有乘法的 inverse, 所以 R 中非 0 的元素所成的集合在乘法之下是一個 group. 尤其當 R 是一個 field 時, R 中非 0 的元素所成的集合在乘法之下是一個 abelian group.