Subgroup

上一節提到 group 的基本性質幾乎是由定義直接推得, 我們若想得到更豐富的性質, 則不得不引進特殊的技巧來處理. 當然一開始最直接的想法就是如果一個 group 不是很容易被掌握, 我們是不是可以考慮其內部的子集合來幫助我們了解它. 當然了我們知道一般的子集合幫不了我們什麼忙, 因為 group 本身的運算才是我們關注的重點. 所以我們有興趣的是那些在原本 group 的運算下也是 group 的子集合. 這樣的子集合我們稱之為 subgroup. 以後我們將會學到如何利用 subgroup 來進一步了解原先的 group. 在本節中我們先了解一些 subgroup 的特性.

首先我們還是給 subgroup 一個正式的定義.

Definition 1.3.1   給定一個 group G, 如果 G 中的一個非空的子集 H 在 G 的運算之下也是一個 group, 則稱 H 為 G 的一個 subgroup.

要注意的是, 我們強調要在 G 原本的運算下才可以. 例如在整數的加法運算下所有的偶數所成的子集合就是其 subgroup；然而集合 {1, - 1} 雖然是整數的一個子集合而且在乘法的運算下是一個 group, 不過它卻不是整數這個 group 的一個 subgroup.

給定一個 group G, 我們很容易找到兩個 subgroup: 一個就是 G 本身, 另一個就是僅由 identity 一個元素所成的子集合. 這兩個 subgroup 對我們來說沒有什麼用處, 所以稱之為 trivial subgroups, 其他的 subgroup 則稱之為 nontrivial proper subgroups. 要注意的是將來我們會看到有些 group 並沒有 nontrivial proper subgroups.

介紹完基本定義, 我們自然想知道如何判定一個 group 之子集合 H 是否為 G 的 subgroup？ 當然就是前面 group 的定義 (GP1) 到 (GP4) 都要符合. 首先注意在 subgroup 的定義中並沒有要求 H 的 identity 就是 G 的 identity. 不過若給定 H 中一元素 a, H 的 identity 必須符合 a ^. x = x ^. a = a. 由 Theorem 1.2.3, 知道在 G 中只有唯一的元素符合 a ^. x = a (或 x ^. a = a), 而 G 中的 identity 又符合這等式, 所以 H 的 identity 非得是 G 中的 identity. 同理在 (GP4) 中要求對任意 H 中之元素 a 都可以在 H 中找到 a 的 inverse. 再由 Theorem 1.2.3 我們可得 a 在 H 中的 inverse 恰就是 a 在 G 中的 inverse. 由這些觀察我們用比較數學的方法再重寫 subgroup 的定義.

Definition 1.3.2   給定一個 group G, 如果 G 中的一個非空的子集 H 在 G 的運算之下符合：

(SGP1)

若 a, b $\in$ H 則 a ^. b $\in$ H.

(SGP2)

若 a, b, c $\in$ H 則 (a ^. b) ^. c = a ^. (b ^. c).

(SGP3)

G 的 identity e 必須屬於 H.

(SGP4)

對 H 中任一元素 h 其在 G 中的 inverse h^-1 必須也屬於 H.

則稱 H 為 G 的一個 subgroup.

其實要檢查 H 是否為 G 之 subgroup 我們不必全部檢查 (SGP1) 到 (SGP4) 這四項. 事實上 G 中的元素都符合 (GP2), 而 H 中的元素必定在 G, 所以 H 中的元素自然符合 (SGP2). 另外 (SGP3) 也是可以省略的. 這是因為既然 H 是非空的, 我們可以在 H 中任找一元素 a. 而 (SGP4) 告訴我們若 a $\in$ H 則 a^-1 $\in$ H 又 (SGP1) 告訴我們若 a $\in$ H 且 a^-1 $\in$ H 則 e = a ^. a^-1 $\in$ H, 故 (SGP3) 可由 (SGP1) 及 (SGP4) 推得. 總結以上討論, 我們有：

Lemma 1.3.3   給定一個 group G, H 為 G 中的一個非空的子集. 則 H 是 G 的 subgroup 若且為若 H 在 G 的運算之下符合以下兩點：

1. 若 a, b $\in$ H 則 a ^. b $\in$ H.
2. 若 a $\in$ H 則 a^-1 $\in$ H.

有許多書將以上驗證 subgroup 的方法用更簡明的方式表示. 在實際狀況下它並沒有比較好用; 只是大部分的同學都覺得它比較好記憶 所以我們還是介紹一下吧!

Lemma 1.3.4   給定一個 group G, 且 H 為 G 中的一個非空的子集. 則 H 是 G 的 subgroup 若且為若在 G 的運算之下給定任意的 a, b $\in$ H, 皆有 a ^. b^-1 $\in$ H.

証 明. (先證明 trivial 的一邊) $\Rightarrow$: 若 H 是 G 的 subgroup, 則給定任意的 a, b $\in$ H, 因 b $\in$ H, 由 (SGP4) 我們可得 b^-1 $\in$ H. 又因 a $\in$ H 及 b^-1 $\in$ H, 再由 (SGP1) 我們可得 a ^. b^-1 $\in$ H. 故得證.

(再證明較難的一邊) $\Leftarrow$: 我們主要的策略是找到 H 中特殊的 a 和 b 來證明 H 符合 (SGP1) 到 (SGP4) 這四個性質. 雖然 Lemma 1.3.3 告訴我們只要驗證 (SGP1) 及 (SGP4) 就可, 不過由於技術性上的困難我們得先證明 (SGP3) 再利用它來證明 (SGP4) 及 (SGP1). 也就是說我們先證明 e $\in$ H: 這其實不難, 因為已知 H 是非空的故任取 a $\in$ H, 知因 a $\in$ H 故當 b = a 時, b $\in$ H. 故由假設知

e = a ^. a^-1 = a ^. b^-1 $$\in$$ H.

現在既然知道 e $\in$ H, 則對任意的 b $\in$ H 我們可令 a = e $\in$ H, 再由假設的條件 a ^. b^-1 $\in$ H 可得

a ^. b^-1 = e ^. b^-1 = b^-1 $$\in$$ H.

這證明了 (GP4). 接下來給定任意的 c, d $\in$ H, 由前已知 d^-1 $\in$ H. 故可令 a = c 和 b = d^-1, 我們有 a, b $\in$ H. 所以由假設知 a ^. b^-1 $\in$ H. 也就是說 a ^. b^-1 = c ^. (d^-1)^-1 = c ^. d $\in$ H. 這證明了 (SGP1), 故知 H 是 G 的一個 subgroup. $\qedsymbol$

注意: 如果 H 中的元素符合若 a, b $\in$ H 則 a^{-1 .} b $\in$ H, 那麼我們也可用同樣的方法證明 H 是 G 的一個 subgroup.

前面提過以後我們將會專注於 finite group 的 case. 當我們碰到 finite group 時要檢查其中的子集合是否為 subgroup 時所要檢查的項目就更少了. 事實上我們有以下的定理:

Proposition 1.3.5   給定一個 ``finite'' group G, 且 H 為 G 中的一個非空的子集. 則 H 是 G 的 subgroup 若且為若在 G 的運算之下 H 是 closed.

証 明. 我們僅要證明當 H 在 G 的運算下是 closed 則 H 是 G 的 subgroup. 然而利用 Lemma 1.3.3, 因為已知 H 在 G 的運算下是 closed, 所以要證明H 是 G 的 subgroup 我們只要證明給定任何的 a $\in$ H 皆有 a^-1 $\in$ H 就可. 若 a $\in$ H, 因 H 在 G 的運算下是 closed, 故 a² = a ^. a $\in$ H, a³ = a ^. a² $\in$ H, .... 這樣一直下去我們可得對任一的 n $\in$ $\mathbb {N}$, 皆有 aⁿ $\in$ H. 然而 G 只有有限多個元素, 而 H 是 G 的一個子集合, 所以 H 必只有有限多個元素. 換句話說 {a, a², a³,...aⁿ,...} 這些 H 的元素一定不可能兩兩相異. 所以可以找到兩個相異的整數 m 和 n 使得 aⁿ = a^m. 不失ㄧ般性, 我們假設 m > n. 等式兩邊同乘 (aⁿ)^-1, 我們得 a^{m - n} = e. 如果 m - n = 1, 這表示 a = e, 所以 a^-1 = e = a $\in$ H. 如果 m - n > 1, 則 m - n - 1 $\in$ $\mathbb {N}$. 故知 a^{m - n - 1} $\in$ H. 再由 a^{m - n} = e 知 a^{m - n - 1 .} a = a ^. a^{m - n - 1} = e. 故得 a^-1 = a^{m - n - 1} $\in$ H. $\qedsymbol$