一些特殊的 subgroup

前面提及我們希望利用一個 group 的 subgroup 來幫我們了解這一個 group. 給定一個 group 除了 trivial subgroup 外到底要怎樣找到其他的 subgroup 呢?當然了有些 group 是沒有 nontrivial proper subgroup 的(以後我們會介紹), 在這一節我們希望介紹一些可能找到 nontrivial proper subgroup 的方法.

當 G 是一個 group 給定 a $\in$ G, 我們希望用 a 來產生一個 subgroup. 很自然的我們知道 a², a³,..., aⁿ,... 都要在這個 subgroup 中, 還有 a^-1, (a²)^-1,...,(aⁿ)^-1,... 也要在其中, 最後別忘了 e 也要在裡面. 由 Corollary 1.2.5, 我們知 (aⁿ)^-1 = (a^-1)ⁿ, 所以我們很自然的會定義以下的集合:

$$\langle$$a$$\rangle$$ : = {aⁿ | n $$\in$$ $$\mathbb {N}$$} $$\cup$$ {(a^-1)^m | m $$\in$$ $$\mathbb {N}$$} $$\cup$$ {e}.

很容易由 Lemma 1.3.3 (或 Lemma 1.3.4) 知道 $\langle$a$\rangle$ 會是 G 的一個 subgroup. 我們稱 $\langle$a$\rangle$ 為 the cyclic subgroup of G generated by a. 當然了, 如果我們選到 a = e 則 $\langle$a$\rangle$ = {e} 這一個 trivial subgroup. 另一方面如果我們可以找到一個 a 使得 $\langle$a$\rangle$ = G, 那麼我們就稱 G 為一個 cyclic group. 要注意的是並不是所有的 group G 都可以找到 a $\in$ G 使得 $\langle$a$\rangle$ = G.

Example 1.4.1   我們給一個有些同學會搞混的例子. 會搞混的原因是前面提過, 為了簡便的因素我們都用 「 ^. 」 來表示 group 的運算, 所以 a² = a ^. a 表示 a 和 a 運算兩次, a³ 表示運算三次... 依此類推. 現在我們考慮 $\mathbb {Z}$ 以加法形成的 group. 那麼 $\langle$2$\rangle$ 應該是怎樣的 subgroup 呢? 它應該是由 2, 4 = 2 + 2, 6 = 2 + 2 + 2, ...(千萬別搞錯, 不是由 2, 4 = 2², 8 = 2³,...) 以及 -2, -4, -6, ... 等所組成. 換句話說在此 group 中以 2 所形成的 cyclic subgroup 即是由所有偶數所組成的. 另外大家很容易看出來 -2 也可產生同樣的 subgroup. 大家也可很容易看出 1 所產生的 cyclic subgroup 就是 $\mathbb {Z}$ 本身所以我們知道 $\mathbb {Z}$ 所形成的加法群是一個 cyclic group.

大家應該都還記得, 在一般的 group 中, a ^. b 不見得等於 b ^. a. 不過因 a ^. e = e ^. a = a 所以 identity 總是和所有元素可交換的. 至於給定一元素, 有哪些元素可以和它交換是一個很有趣的話題. 給定 a $\in$ G, 我們可以考慮

C(a) = {g $$\in$$ G | g ^. a = a ^. g}.

這個集合就是搜集 G 中可以和 a 交換的元素. 我們稱之為 the centralizer of a. 給定任意的 a $\in$ G, 事實上 C(a) 會是 G 的一個 subgroup. 例如 the centralizer of identity C(e) 就是 G 本身.

Proposition 1.4.2   若 G 是一個 group 且 a $\in$ G, 則 C(a) 是 G 的一個 subgroup.

証 明. 由 Lemma 1.3.3, 我們要證明: 若 g₁, g₂ $\in$ C(a) 則 g₁ ^. g₂ $\in$ C(a) 還有 g₁^-1 $\in$ C(a). 事實上 g₁, g₂ $\in$ C(a) 告訴我們 g₁ ^. a = a ^. g₁ 及 g₂ ^. a = a ^. g₂. 因此

(g₁ ^. g₂) ^. a = g₁ ^. (g₂ ^. a) = g₁ ^. (a ^. g₂) = (g₁ ^. a) ^. g₂ = (a ^. g₁) ^. g₂ = a ^. (g₁ ^. g₂).

也就是說 g₁ ^. g₂ $\in$ C(a). 另一方面, 由於 g₁ ^. a = a ^. g₁, 各乘上 g₁^-1 在兩邊等式的右邊. 我們得到 (g₁ ^. a) ^. g₁^-1 = a. 再乘以 g₁^-1 於兩邊等式之左邊. 我們得 a ^. g₁^-1 = g₁^{-1 .} a. 也就是說 g₁^-1 $\in$ C(a). $\qedsymbol$

另外一種常見的 subgroup 是考慮

Z(G) = {g $$\in$$ G | g ^. x = x ^. g,$$\forall$$ x $$\in$$ G}.

我們一般稱 Z(G) 為 G 的 center. 注意 C(a) 是和 G 中的特定元素 a 可交換的元素所成的集合, 而 Z(G) 是和 G 中所有的元素可交換的元素所成的集合. 所以我們很容易可證得

Z(G) = $$\bigcap_{a\in G}^{}$$C(a).

類似於證明 C(a) 是 G 的 subgroup 的方法我們也可以證明 Z(G) 也是 G 的 subgroup. 在這裡我們不再給證明不過等一下我們將會用另一種看法來說明 Z(G) 是 G 的 subgroup.