製造更多的 subgroups

前一節中我們介紹了幾種 subgroup. 如果你已有了一些 subgroups 這一節中我們將介紹一些簡單的利用這些 subgroups 製造出新的 subgroup 的方法.

Lemma 1.5.1   若 H₁, H₂ 是 G 的 subgroups, 則 H₁ $\cap$ H₂ 也是 G 的 subgroup.

証 明. 我們先證明封閉性. 若 x, y $\in$ H₁ $\cap$ H₂, 則利用 x, y $\in$ H₁ 及 H₁ 是一個 subgroup, 我們有 x ^. y $\in$ H₁. 同理可得 x ^. y $\in$ H₂. 故 x ^. y $\in$ H₁ $\cap$ H₂.

另外證明 inverse 存在. 若 x $\in$ H₁ $\cap$ H₂, 則利用 x $\in$ H₁ 及 H₁ 是一個 subgroup, 我們有 x^-1 $\in$ H₁. 同理可得 x^-1 $\in$ H₂. 故 x^-1 $\in$ H₁ $\cap$ H₂. $\qedsymbol$

注意從證明中不難發現若將此 Lemma 1.5.1 中的交集改成聯集則結果不一定成立. 即 H₁ $\cup$ H₂ 不一定會是 subgroup. 例如在整數 $\mathbb {Z}$ 所成的加法群中, 2$\mathbb {Z}$ 和 3$\mathbb {Z}$ 這兩個 subgroups 的聯集不是 subgroup. 很容易就知 2 $\in$ 2$\mathbb {Z}$ $\cup$ 3$\mathbb {Z}$ 且 3 $\in$ 2$\mathbb {Z}$ $\cup$ 3$\mathbb {Z}$ 但是 2 + 3 = 5 $\not\in$2$\mathbb {Z}$ $\cup$ 3$\mathbb {Z}$.

從 Lemma 1.5.1 的證明也不難看出不只兩個 subgroups 的交集是 subgroup, 其實任意有限多個 subgroups 的交集也是 subgroup. 甚至無窮多個 subgroups 的交集也是 subgroup. 所以我們可利用 C(a) 是 subgroup 得到 Z(G) = $\cap_{a\in G}^{}$ C(a) 也是一個 subgroup.

給定 G 中的任一元素 a 及一個 subgroup H, 我們可以考慮

a^{-1 .} H ^. a = {a^{-1 .} h ^. a | h $$\in$$ H}

這個集合 (當然了若 G 是 abelian 則 H = a^{-1 .} H ^. a).

Lemma 1.5.2   若 a $\in$ G 且 H 是 G 的一個 subgroup, 則 a^{-1 .} H ^. a 也是 G 的 subgroup. 若又知 H 是 finite group, 則 | H| = | a^{-1 .} H ^. a|.

証 明. 若 x₁, x₂ $\in$ a^{-1 .} H ^. a, 表示存在 h₁, h₂ $\in$ H 使得 x₁ = a^{-1 .} h₁ ^. a 且 x₂ = a^{-1 .} h₂ ^. a. 故由結合率知

x₁ ^. x₂ = (a^{-1 .} h₁ ^. a) ^. (a^{-1 .} h₂ ^. a) = a^{-1 .} (h₁ ^. h₂) ^. a.

又 h₁ ^. h₂ $\in$ H, 故 x₁ ^. x₂ $\in$ a^-1Ha. 這證明了封閉性.

又若 x $\in$ a^{-1 .} H ^. a, 則存在 h $\in$ H 使得 x = a^{-1 .} h ^. a. 故

x^-1 = (a^{-1 .} h ^. a)^-1 = a^{-1 .} h^{-1 .} (a^-1)^-1 = a^{-1 .} h^{-1 .} a.

再由 h^-1 $\in$ H 故得 x^-1 $\in$ a^{-1 .} H ^. a.

最後若 H 是 G 的一個 finite subgroup, 我們要證明 | H| = | a^{-1 .} H ^. a|. 一般來說要證明兩個集合的元素個數是相同的, 我們只要在這兩個集合間找到一個 1-1 且 onto 的函數就可. 固定 a $\in$ G, 我們考慮 f 是從 H 到 a^{-1 .} H ^. a 的函數, 定義為: 對於所有 h $\in$ H, f (h) = a^{-1 .} h ^. a. 由定義知 f (h) $\in$ a^{-1 .} H ^. a. 我們現在檢查 f 是 1-1, 也就是若 h$\ne$h' 則要證明 f (h)$\ne$f (h'). (一般來說我們不容易直接證明不等, 所以都會用反證法.) 如果 f (h) = f (h'), 即 a^{-1 .} h ^. a = a^{-1 .} h' ^. a, 馬上知 h = h'. 這和 h$\ne$h' 的假設矛盾, 故知 f (h)$\ne$f (h'). 最後證明 f 是 onto, 也就是任取 a^{-1 .} H ^. a 中的元素 y, 我們要在 H 中找到一個 x 使得 f (x) = y. 不過由定義, y $\in$ a^{-1 .} H ^. a 表示存在 h $\in$ H 使得 y = a^{-1 .} h ^. a, 故取 x = h, 則得 f (x) = y. 我們證得了 | H| = | a^{-1 .} H ^. a|. $\qedsymbol$