《與奇人相遇的故事》 

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綠衣黑裙的綠巨人

台大附近,汀州路旁,新店溪邊的師大分部是我大學讀書成長的地方,也是我從事教學、學術研

究的地點。三月的暖陽從蟾蜍山上斜照全校園,來自全國的十來位數學資優學生,在數學館三樓

的 M310 教室一起探索數學的奧秘,他們無暇欣賞這美景。吸收教授的數學課程,考好試,當選

只有六個名額的國手才是他們此行的目的。《算術講義》是我所教授的一系列課程之統稱。在這

課程裡,不僅教授代數、數論,也涵蓋一點組合、幾何與不等式。剩下十來人的課程安排,通常

上課兩個小時,做練習一個小時。記得有一次,我給的練習是取自前蘇聯的一道立體幾何問題,

它是一道幾何不等式問題,看起來是道難題。(歡迎下載閱讀)

 

石碇東街吊腳樓

到深坑老街吃豆腐,促進地方經濟繁榮,是每位台北人一生必做的功德之一。不過再深入一點,

造訪繁華落盡的石碇東、西老街,可能就興趣缺缺了。我對石碇的第一印象是從電視台主播廖筱

君的介紹性節目「石碇東街吊腳樓」得來的,印象中,她介紹在石碇東、西老街上捕捉美景的一

些畫家。第一次造訪石碇是為了當地一所完全中學要招考高中數學教師的事宜與對新成立的高一

資優班演講而來。校長的宿舍就建在學校內,背後是山坡,好像生活在深山一樣,學校連午餐都

是自理兼自助式的。當年還年輕的我,真有一點嚮往。此行的目的就是出一份數學考題,讓學校

招考高中部的數學老師。如果要命一道不等式問題,最簡單莫過於拾人牙慧,我也常做這樣的事

。(歡迎下載閱讀)

 

憧憬未來三年勝過追憶過去十年

最近收到一封《致許教授的一封信》的 e-mail,將其中的一段文字摘錄如下:我是86級

的學生,當年大二時修你開的代數課程,慚愧得很,在我渾渾噩噩的大學生涯中,那算

是唯一留下痕跡的科目吧(因為…有用心過!)。畢業近十載,我向你致上最深的謝意!

也在畢業近十載後,才漸漸懂得求學問的樂趣,懂得欣賞數學的美!偶然在你的網頁上,

看到一個由小綠綠同學發現的不等式題目:看過小綠綠同學及那位高中老師的立體模型解

法,果真令人拍案叫絕,驚嘆一聲 Aha!自己也情不自禁的試了一下(精確的說,是試了

很多下),以下是個人的解法…。

屈指算來,在國中教書的這位老師應該是我到師大服務第二年教到的學生。其實隔天他再

傳一封 e-mail 給我,說他想到使用機率的概念來解此不等式。談到機率,一般會想到樹狀

圖與文氏圖兩種方法,它們是將機率問題幾何化的方法。說來大家可能不相信,文氏圖的

歷史還不到兩百年,為什麼人類這麼晚才將文氏圖用在數學解題上,我也搞不太清楚?不

過什麼叫文氏圖,如何定義才完善,也是個麻煩事。美國數學家菱克沙恩給過文氏圖定義

,稱其為「一個集合的符號表示法,用平面的某個部分來表示所考慮的對象,用某條封閉

曲線內部的點來表示一個集合。」(歡迎下載閱讀)

 

後山能者不惶多讓

每年冬天,來趟花蓮之旅,幾乎成為例行公事。住英雄館,或宿美人館,便宜又方便,而且散步

就可以到達液香扁食店,吃碗扁食是那晚必做的晚課。白天散步在花蓮港邊的腳踏車步道,想著

悠游在海裡的翻車魚,生長在山邊的芋頭,真讓人食指大動。回家時可別忘了帶點曾記麻糬或百

年老店惠比須的花蓮薯。有位邱姓大學同學住花蓮真好,每次都帶給我不同的體驗。記得有一次

,晚上開車帶我到花蓮的山上品茶看花蓮夜景,讓我留下很深刻的印象;更有一次,帶我到遠來

大飯店眺望整個花蓮地區燈火通明的景色。當然,到光復糖廠吃冰或安通洗溫泉也是不可免的啦

。(歡迎下載閱讀)

 

百年紅樓再造,十萬駝客薪傳

透過遊戲的互動,傳達數學的概念,是我一直想做的事情。但是,恰當的數學遊戲不多見,不是坊

間已有解答,就是無法精準的傳遞數學概念,或者遊戲本身不具有任何數學規律或意義。感謝以下

這位奇人的幫忙,讓我對一道有興趣的遊戲有更上一層樓的理解,或者說找到那道遊戲的最後一塊

拼圖也可以。(歡迎下載閱讀)

 

來自巨人的真知…投稿者的卓見

「站在巨人的肩上,可以看得更遠;來自巨人的投射,可以照得更亮」是學數學的人渴望有的際遇,

想要獲得的加持;但是,巨人的肩膀容易攀爬嗎?巨人的“數光”會普照在每個人身上嗎?這堶n講

的這道題目,其背後隱藏著一段與巨人有關的歷史;但是這題目本身卻只是巨人投射之下的一個簡單

產物。雖然是個簡單的特例,但想要巧妙解決它,也必須是個奇人才辦得到。(歡迎下載閱讀)

 

完中出頑童

台北縣有十三所完全中學,也是最先設有完全中學的縣市。為了跟傳統學校競爭,在完全中學設立資

優班及舉辦各種不同的競賽是免不了,也是容易想到的招生噱頭。例如三峽的明德完全中學在體育項

目就有過輝煌成績,培養過射箭的金牌選手。二00五年十二月十四日是相當寒冷的一天,也是台北

縣九十四學年度縣立高中職數學科學藝競賽(第五屆)的日子,比賽地點就在三峽的明德完全中學。

       經北二高過三峽的人都會發現台北大學與恩祖公醫院是三峽的兩個醒目路標。事實上,祖師廟與鳶

山才是三峽的名勝。在我還不會開車之前,從新店搭客運繞小徑到明德完全中學給場演講,是一趟充

滿鄉下味道的旅遊。那蜿蜒崎嶇的山路,也是培養半睡半醒狀態的好時機,愛迪生的驚人創造力就是

透過這種狀態培養出來的。沒想到北二高的開通與學會開車這兩件事情兜在一起,就徹底毀滅這種重

溫舊夢的機會。儘管小徑勝二高,但是交通的便利性還是技高一籌地擊敗了夢想。(2005.12.17)

 

七年之癢…來自卡特藍數列的幻想曲

這是擅長出一張嘴巴的教授對上肯花腦筋的教師,所譜出的一齣幻想曲。牛頓是我大學隔壁班的同學,

這當然是他的綽號,把他想成與真正的牛頓一樣聰明,或者把他看成比牛還鈍都行,總之,他是介於兩

者之間的一位高中數學老師。據說,人體的細胞每七年會完全更新一次,這當然也包括腦細胞。如果這

是事實的話,那麼這裡要講的故事肯定有趣,因為它是貫穿了七年之長的數學連結。(歡迎下載閱讀)

他山之石可以攻錯…撕郵票問題

「有一次筆者到郵局寄信,因為要寄的信很多,服務小姐給了我一大張未撕開的郵票,正當我很有耐心

將郵票一張一張撕開的時候,腦中突然浮現一個這樣的問題:怎樣撕才最省時呢?不過,仔細一想便覺

得這個問題“不成問題”,因為要把一大張未撕開的郵票一張一張分開,就是要把各郵票之間的“連結

線”撕開,而“連結線”的總和是固定的,並不隨撕開的方式而有所改變,因此並不存在特別省時的方

法。這時心裡覺得有一點無奈,“但是說不定有某一種撕開的方式所需撕裂次數是最少的?” 一個新的

想法又浮現腦海,正是“山窮水盡疑無路,柳暗花明又一村”,這一問竟為我開啟一趟“撕郵票之旅”

。」這是彰師大數學系學生陳美如在《數學傳播季刊》第 93 期上發表的文章〈撕郵票問題〉的前言。

我之所以會讀到這篇文章也是陰錯陽差造成的,原本是找尋我在左營高中實習時,指導學生作科展發表

在《數學傳播季刊》上的那篇文章,誤以為在這一本上,回家翻開一看才知道拿錯了。只好將錯就錯,

看看手上這本期刊有什麼文章。(歡迎下載閱讀)

讓 43 跟 57 催眠你

台師大數學系趙文敏教授所著的《寓數學於遊戲》,是我大學期間看過的幾本通俗數學書籍之一。趙老

師也是教我大一線性代數的老師。在國內數學系裡,將線性代數放在大一教授,而且是教比較抽象的,

不是計算性的,是少見的。也因為這樣,我的同學在這一科學得很辛苦,我這輩子的第一張生日賀卡,

是上線性代數這門課的時候,坐在後面的一位班上女生送給我的,這個舉動讓我誤以為「我被欣賞了」

,但很快的就證實那是個「大陰謀」。過了幾天,她借了我線性代數的筆記去欣賞,這是她不瞭解我的

第一步。我的數學筆記是很誇張的,每頁大概只寫六、七行,每行只寫八、九個字,每個字都很大,大

概也只有故宮收藏的書法家墨寶或者是沒讀過書的人之作品,才有辦法寫出像我的字體這樣的神韻。再

過沒幾天,她就直接約我,當然是請我教她線性代數的內容與習題,不是約會。這雖然是很久以前的往

事了,但是最近碰到這位班上同學,她竟然還提起這件事,感謝我的指導,讓她成績很高。(歡迎下載

閱讀)

 

突破貝蒙障礙的奇人…從 5 挺進到 4

耀昌是我高一、二的同學,高三他轉讀丙組(醫科),記憶中,有好幾次午睡醒來,他都拿著補習講義

裡的數學難題等著問我,大部分可以馬上幫他解答,於是他就高興的回丙組班去了。高中畢業後,我考

上師大數學系,九月單獨一人提著行李,搭火車上台北。在這之前,除了畢業旅行外,從未到台南以北

的地方,心裡真的有點擔心。當我步出台北火車站,搞不清楚東、南、西、北時,竟然巧遇耀昌跟他的

爸爸,耀昌向他爸爸說「讀南一中時,他常問我數學」。於是耀昌的爸爸熱情邀請我坐他們的轎車,並

命令司機先送我到師大分部,再送耀昌到台大。這就是大學生活的第一天,也是奇遇的一天。

 

說來也奇怪,數學系的錄取分數從我那年開始竄升,隔年就飆到極高的分數,十二年後回母系服務時,

它的錄取分數依然相當的高,所以在大學教書的前幾年,學生都很優秀,現在他們應該都是國、高中的

優秀數學老師吧!這裡要講的一段故事,是教授數學系《數學解題》這門課所遇到的奇人,他的名字我

已記不清楚了,甚至是男是女也沒印象,只知那是發生在 B102 教室的往事。《數學解題》這門課大概是

要教授類似波里雅《如何解題》那本書的內容,讓學生思考些既靈活、又有趣一點的問題是必須的。剛教

授這門課的前幾年,我都會舉一道〈國王的煩惱〉的數學遊戲讓學生動動腦。(歡迎下載閱讀)

 

真實與催眠之間…我的九九乘法表老師

教書是一種「真實與催眠之間的拔河」或者說是「走在真實與催眠這兩個向度上的一條函數曲線」。對不

同的人,施予他的催眠藥劑量是不同的,適合他的函數曲線也不相同。如何以適當的劑量催眠他,使他清

醒過來時,還會感謝你或者是清醒過來時,又是另一個催眠他學習的好時點,是教書最難拿捏的地方。小

學的「九九乘法表教學」是經常被討論的體材。傳統的教學方法是先將九九乘法表強制洛印在每位學生的

腦海裡,再讓學生隨著經驗的累積與時間的成長,領悟九九乘法表的真實意義,這充分展現「時間是最好

的醫生」這句俄國諺語的道理。但是九年一貫的精神是希望當下能理解九九乘法表的意義,完全不必記憶

與背誦它,這是一個不許使用「催眠」技巧的教學方法。(歡迎下載閱讀)

 

古老的池塘,青蛙跳入,噗通!…一子棋的誘惑

古老的池塘,

青蛙跳入,

噗通!

在這個古老池塘中有一個又一個的漣漪,它們是一個又一個的同心圓,這些圓是完整的,也是完美的。

只有圓才能夠了解完美,古希臘的畢達哥拉斯知道,義大利的詩人但丁也清楚,因此他們變得如此著迷

於圓。

「青蛙」肯定是人的綽號,不會是名字。小時候,他的腿長苗窕,兩臂瘦小無肉。小學時,年輕的體育

老師喜歡在沙坑裡練習跳遠,他也跟著練習,會跳的「青蛙」成為他的別號。小時候最容易吃到的免費

水果,非香蕉莫屬,因為鄉下田間,常有土生土長的香蕉樹,把未熟的芭蕉摘下,放入米甕或者藏在稻

草堆裡,讓它溫熟,漸漸的香蕉便成為青蛙的美食。上了大學的青蛙仍然無法忘懷香蕉這樣水果,為了

贏得一串香蕉饗宴,不惜跟同學打賭,吃下十餘碗的飯。讓我來介紹這可愛的青蛙與可憐的香蕉,在服

役期間所譜出的一段數學往事。(歡迎下載閱讀)

 

返本還源已費功,爭如直下若盲聾

患有白子,腦性麻痺,盲生或身心障礙的人,在許多方面,都被認為學習不易。有時候,這只是一種偏見

,記得跟我一起讀博士班的同學裡,就有白子與腦性麻痺者,他們也都畢業找到工作。這裡要談的是一則

料想不到的故事,整個故事與九十四學年度學科能力測驗《數學考科》多選題第六題有關。(歡迎下載閱

讀)

 

納許棋的奧秘

看過電影「美麗境界」嗎?那部電影的主角是一位數學家,叫納許,劇情是演納許對抗病魔三十幾載,最

終獲得諾貝爾經濟學獎的動人故事。這裡所要談的納許棋盤,據說是他在普林斯頓高等研究院的廁所發現

的。因為廁所的磁磚是正六邊形鋪成的,所以納許棋是跟正六邊形有關的遊戲。

(歡迎下載閱讀 2005.07.03)

 

不離文字與不立文字…語、默有分,頓、漸有別

為了診斷並找出數學學不好的病兆,幾年前有幾位數學教授身穿白袍,打扮成醫師的模樣,接受學生與家

長的預約看診。當然他們是想透過與家長及學生的直間面談、心理諮詢,利用醫師給人的制約形象,好讓

學生有信心讀好數學。但是一陣子之後,不知為何就沒實施了,真想問他們「這樣做真的有效嗎?」只是

一直都沒敢問就是。像這樣,透過文字語言與家長及學生直接交流,坦開心胸,並借用白袍,聽診器這樣

的橋樑或仲介工具,到頭來,會不會只是給了家長及學生安慰劑而已呢?

 

      對一位數學不靈光的人來說,如何才能正確的診斷出他的數學病因呢?同樣的,對一位數學不錯的人,

怎樣的建議才能讓他的數學能力更上一層樓呢?說來奇怪,生病與健康,看似相反,其實是相通的。想想

看!沒生過病的人,怎麼會瞭解健康呢?同理,說自己健康的人,他肯定以前生過病。生病與健康是互相

依賴存在的兩個詞。生病的人渴望健康,但未必能得到健康,但是,真正健康的人不僅知道健康,也經歷

生病。所以真正健康的人不僅知道健康,也瞭解生病。同樣的情形也發生在傻瓜與天才的區分上,傻瓜只

不過是混亂了的天才,而天才只不過是整合過的,歸於中心的傻瓜。傻瓜與天才並不是兩條平行線,它們

可以透過梯子連結,傻瓜是梯子最低的那一階,而天才是梯子最高的那一階,只要找到攀爬梯子的竅門,

傻瓜就是天才了。數學傻瓜解決數學問題特別看重仙方,忽視睡方;但數學天才卻反其道而行,不覓仙方,

覓睡方。究竟我們的數學能力處於梯子的那一階呢?這正是本文所要討論的重點。就讓我們從中醫「望、聞、

問、切」開始吧!

 

中醫有傳統的所謂「望、聞、問、切」四種基本診斷病情的方法(俗稱四診),其中的「聞」診含鼻聞與

聽聞兩種,「切」診就是切脈,把脈的意思,旨在探詢語言文字所不能達到的深沉意識。「望」診就是用

眼睛觀察,一種最具體的診斷行為;「聞」診除了嗅聞味道外,還需聽聞病人的病痛描述,一種被動的診

斷行為;「問」診就是提出問題,詢問病人,病人必須回答醫生的問題,這是一種主動的診斷行為。「望」

診是具體的,而「聞、問」兩診卻是抽象的,語言文字本來就只是一種橋樑、仲介或溝通功能而已,它不是

病痛本身,所以用它來描述病痛,只能算是抽象的陳述,搔到癢處而已。中醫的精髓在「切」診,把脈是「

具體中帶有抽象的味道,抽象裡透露出具體的行為」的診斷方法。「切」診兼融了具體與抽象的好處,摒除

了具體與抽象的惡處。應用得妙的話,把脈就像「詩中有具體的畫,而畫中卻帶著抽象的詩」一樣完美。總

而言之,「望、聞、問」三診只能得到病的表面或徵兆(如發燒,口渴,畏寒,削瘦,水腫或肥胖等),無

法知道病因。因此,中醫師除了看病人具體的表象與病人用語言文字描述的抽象表徵外,還要不著於這兩者

的第四診「切」診…直指病心,找到病因。所以表象與語言文字描述只是參考,切脈或深入意識的探詢才是

重點。好的中醫師應該衝破病人的表象與語言文字描述這兩道橋樑,並深達病人的意識,潛意識潛,無意識

,甚至超意識。診斷病人如此,衡量自己學數學的得失與教育學生學習數學何嘗不是這樣呢?

 

從中醫的四診知道,前三診是離不開文字的描述病徵,從具體的看表像,進入抽象被動的陳述,深入主動抽

象的詢答。這是一種循序漸進,找出病因的方法。但是,終究它們只是手段或過程,僅供參考,不是終極目

標。深入意識,直指病心的「切」診,這種不著文字,瞬間頓知病因的方法才是治本的良方。所以中醫的四

診就是從不離文字的前三診循序漸進學習,最終進入不立文字、不著文字的頓知病因。文字描述病情只是一

種過渡,仲介或溝通的橋樑,頓知病因,忘掉文字才是第四診的真義。既然疾病是說不得的東西,但為了教

導後人習醫把脈,說不得的東西如何說,就成為難事了。不僅醫學的學習如此,數學的學習也有相近之處。

數學原本是不著文字,瞬間頓瞭的真裡,但是為了流傳,只好把說不得的智慧,用文字寫下當成知識流傳與

教授。因此,不離文字與不立文字,雖然形式上相反,但實質上卻相通,也就是說,在文字語言的詮釋下,

逐漸學習(漸)數學只是為瞬間瞭解(頓)數學而準備,逐漸學習只是過程或手段,瞬間瞭解才是目標或終

極目的。

              「望、聞、問、切」是自診與診斷他人數學智慧高低的方法;而傳統的「傳道、授業、解惑」則是一

般老師在課堂上傳授數學知識的方式。如何將診斷方法與教授方式相結合,不離文字(語)與不著文字(默)

交錯應用,漸學與頓解互相融合,是領悟數學與教人數學的精髓之所在。(歡迎下載閱讀  2005.07.11)

 

秦王鐵騎取天下,六駿功高畫亦優

對讀數論的人來說,擁有一本數論學家韋依(Andre Weil)所著的《數論》,算是基本的裝備,而且這本書在

台灣也有翻版。讓我納悶的是,這本英文書籍的扉頁卻出現陳省身所題的「老馬識途」四個大字,並附上一匹

駿馬的圖片。在讀完博士時,仍然搞不清楚其中原委與典故。在畢業教書之後,趁暑假來趟成都、西安之旅,

才搞清楚整個情形,原來它是一段唐朝的大故事。

         從四川成都搭乘火車翻越三國孔明六出祈山的秦領,出寶雞,來到曾經是秦王屬地的陝西西安。這趟懷古

之旅,讓我既高興,又難過。高興的是可以與歷史相會,回憶一下我所瞭解的歷史,難過的是,經過一天多的

搭車煎熬,還需忍受大陸乘客在車廂猛抽煙的煙味。大概是文革的關係,來接我們的陝西西北大學教授,竟然

不知道五丈原這個地方(孔明在那過逝,位於秦領出陝西的地方),對武則天的歷史也知道很少,這是讓我很

訝異的地方。不過,在陝西西安碑林博物館,讓我心中的疑問頓解,可說是此行最大的收穫。就讓我來報告這

趟豐收之旅吧!

         唐太宗昭陵上,有六匹駿馬的浮雕石刻聞名於世,俗稱昭陵六駿(白蹄烏、青騅、颯露紫、拳毛騧、特勤

驃、什伐赤)。 這六匹戰馬是李世民在唐開國戰爭中南征北討的坐騎,並命唐初大畫家閻本立繪草圖,監石雕

而成,因而有

                                                「秦王鐵騎取天下,六駿功高畫亦優」

這樣的詩句流傳於世。這六匹馬中的颯露紫與拳毛騧於  1914 年被盜,運往美國,現藏於美國費城賓夕法尼亞大

學博物館,牠們的複製品與其餘四匹駿馬的真品陳列於西安碑林博物館。數學家陳省身有感於古物流落他鄉的遺

憾,特在偉大數論學家韋依所著的《數論》這本書的扉頁上,用毛筆書寫著『老馬識途』四個中文字,並附上拳

毛騧的圖片。渴望牠們早日回歸故里。

        唐太宗懷戀的這六駿,有的在箭雨中穿行,帶傷而馳;有的跨河飛奔,越野而去;有的緩步慢行,若有所思。

閻本立所草繪的六匹駿馬中,三匹作騰蹄飛奔之狀;三匹為站立徐行的姿勢;有些馬則身中數箭,甚至有一幅是描

述邱行恭武將替太宗的一匹愛馬拔箭的情景。而石雕部分,雕造技巧純熟,刀法洗練簡潔。馬的身軀各部分結構,

雕刻得尤其嚴格準確。鞍飾許多局部變化,雕刻得細緻精湛而不瑣碎,成為唐代雕刻精品。(2005.08.18 歡迎下載

閱讀)

 

亞里斯多得症候群

我有一位學長,當了一年實習老師之後,就辭掉教職,自己經營數學家教班,並取得合法立案的執照。因為是個體

戶的緣故,一年到頭難得放假休息,常常趁暑假結束,開學前這個空檔出國旅行。有幾年,他請我在他出國期間,

客串幫他的學生上點數學課程。我大都挑些活潑有趣的應用問題來教,有一次,上完課後,一位白衣、黑裙、紅書

包的學生問了我這樣的問題:「要如何學好數學證明題?」會問這樣深度的問題肯定是出自名校的好學生,我就快

速的回想一下「從以前到現在,我是如何進行數學證明的學習」,並慎重的回答說:「課本的證明題很重要,雖然

第一次學習可能是用背的或者是記憶(臨摹)的方法學習它的數學證明,但是第二次以後可能就可以用理解的方式

瞭解解其證明過程及為什麼要這樣證。聯考最多只是考類似的證明題目(仿冒),只要課本的證明題及證明方法都

熟悉了,其實不難可以有結構的寫下證明題的證明過程。一般的證明題可粗分成計算式證明題與推理式證明題,計

算式證明題就是套用數學公式驗算要妳證明的式子是否成立,說穿了,就是在做一道計算題而已,而推理式證明題

比較複雜。推理式證明題牽涉到比較複雜的邏輯推理,究竟是採取直接證法或間接證法,而間接證法又可分為反證

法或歸謬證法。總之,對不熟悉邏輯演繹體系的學生來說,要同時兼顧數學層面與選擇正確的邏輯方法是相當不容

易的一件事。」這就是我回答那位學生的大致內容。(2005.09.02 歡迎下載閱讀)

 

9-3=+6

這裡要分享的奇人是我的一位親戚,“ 9-3=+6”是她刻骨銘心,一輩子也忘不了的算術題目。(歡迎下載

閱讀)