$\mathbb{R}^n$ 中的向量

在高中時我們也學坐標空間中的向量, 也就是 $\mathbb{R}^3$. 很容易理解 $\mathbb{R}^3$ 中的向量可以說是 $\mathbb{R}^2$ 中的向量的推廣. 同樣的我們也可將之推廣而定義 $\mathbb{R}^n$ 中的向量, 其中 $n\in\mathbb{N}$ 是任意的正整數. 本節中我們將探討 $\mathbb{R}^n$ 中的向量. 或許同學們會覺得 $\mathbb{R}^n$ 中的向量已看不到, 而疑惑為何要探討它. 事實上線性代數的應用有許多情況就是在這類抽象且看不到的狀況, 這甚至可以說是線性代數發展的主因 (如果僅為了 $\mathbb{R}^2$ 或 $\mathbb{R}^3$ 就沒必要發展這一套理論). 在這一節中我們會發現, 雖然它看不到, 但因為具有如 $\mathbb{R}^2$ 中向量的運算性質, 我們還是可以如處理 $\mathbb{R}^2$ 中的向量一般的方式處理它們相關的性質.

$\mathbb{R}^3$ 中的向量, 即坐標空間中的向量我們可以用 $(a_1,a_2,a_3)$ 其中 $a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}$ 來表示, 而且我們定義兩向量 $(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)$ 相等表示 $a_1=b_1,a_2=b_2$ 且 $a_3=b_3$. 對於任意的 $n\in\mathbb{N}$ 我們也有如下的定義:

Definition 1.2.1   給定任意 $n\in\mathbb{N}$, 我們定義 $\mathbb{R}^n$ 中的向量為 $(a_1,\dots,a_n)$, 其中 $a_1,\dots$, $a_n\in\mathbb{R}$. 我們說兩向量 $(a_1,\dots,a_n)$ 以及 $(b_1,\dots,b_n)$ 相等若且唯若 $a_1=b_1,\dots,a_n=b_n$.

我們多說明一下符號的表示法, 這裡 $(a_1,\dots,a_n)$ 表示有 $n$ 個位置, 每個位置我們依次填入實數其中第 $1$ 個位置的元素我們用 $a_1$ 來表示, 第二個位置用 $a_2$ 來表示, 這樣一直下去直到第 $n$ 個位置用 $a_n$ 來表示. 例如 $n=4$ 時, $\mathbb{R}^4$ 中的向量可以用 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 來表示. 因為 $n$ 可以是任意的正整數不能如 $n=4$ 時將所有的 $a_1,a_2,\dots$ 都列出來, 所以我們就用 $(a_1,\dots,a_n)$ 來表示. 這裡我們也沿習這樣省略的方法說 $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R}$, 表示 $a_1$ 到 $a_n$ 這 $n$ 個元素都是實數. 有的書用較嚴謹的說法, 會用 $a_i\in\mathbb{R}$, $\forall\,1\le i\le n$ 來表示, 此即對所有的 $1\le i\le n$ 皆有 $a_i\in\mathbb{R}$ 的意思. 這種說法的意義是: $i$ 是任意 $1$ 到 $n$ 的整數, 而對於這個 $i$ 所對應的 $a_i$ 會是實數. 所以這等同於說 $a_1$ 到 $a_n$ 這 $n$ 個數都是實數. 另一方面談論向量的相等是必要的, 這是因為在談論向量的運算時就如同實數的運算, 我們必須明確規定等式的意義. 實數的相等很明確, 所以我們就利用實數的相等來定義向量的相等. 這裡 $a_1=b_1,\dots,a_n=b_n$ 也是一種省略的說法, 一般也可以用 $a_i=b_i$, $\forall\,1\le i\le n$ 來表示.

接著我們沿用 $\mathbb{R}^2$ 中向量的加法及係數積來定義 $\mathbb{R}^n$ 中向量的加法 (addition) 以及係數積 (scalar multiplication).

Definition 1.2.2   令 $\mathbf{u}=(a_1,\dots,a_n),\mathbf{v}=(b_1,\dots,b_n)\in\mathbb{R}^n$ 以及 $r\in\mathbb{R}$. 我們定義

$$\mathbf{u}+\mathbf{v}=(a_1+b_1,\dots,a_n+b_n)\quad\mathrm{and}\quad r\mathbf{u}=(ra_1,\dots,ra_n).$$

依此定義, 給定 $\mathbb{R}^n$ 中的兩向量我們可以明確地計算它們之和, 例如若 $\mathbf{u}=(1,1,2,2)$, $\mathbf{v}=(5,4,3,2)\in\mathbb{R}^4$ 則

$$\mathbf{u}+\mathbf{v}=(1+5,1+4,2+3,2+2)=(6,5,5,4).$$

這裡特別要注意的是必須是 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 皆在相同的 $\mathbb{R}^n$ 中才能定義 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$. 例如若 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbb{R}^3$ 而 $\mathbf{v}$ 在 $\mathbb{R}^4$ 是不能談 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ 的了!

如同 $\mathbb{R}^2$ 的情形, $\mathbb{R}^n$ 中向量加法及係數積有以下的性質. 由於這些性質的證明和 $\mathbb{R}^2$ 的情形完全相同 (用到實數相對應的性質), 此處我們就不再證明了.

Proposition 1.2.3   對於 $\mathbb{R}^n$ 上的向量, 我們有以下的性質:

1. 對任意 $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$, 皆有 $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$.
2. 對任意 $\mathbf{u},\mathbf{v}, \mathbf{w}\in\mathbb{R}^n$, 皆有 $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$.
3. 存在一向量 $\mathbf{0}\in\mathbb{R}^n$ 滿足對任意 $\mathbf{u}\in\mathbb{R}^n$ 皆有 $\mathbf{0}+\mathbf{u}=\mathbf{u}$.
4. 對任意 $\mathbf{u}\in\mathbb{R}^n$ 皆可找到 $\mathbf{u'}\in\mathbb{R}^n$ 滿足 $\mathbf{u}+\mathbf{u'}=\mathbf{0}$.
5. 對任意 $r,s\in\mathbb{R}$ 以及 $\mathbf{u}\in\mathbb{R}^n$, 皆有 $r(s\mathbf{u})=(rs)\mathbf{u}.$
6. 對任意 $r,s\in\mathbb{R}$ 以及 $\mathbf{u}\in\mathbb{R}^n$, 皆有 $(r+s)\mathbf{u}=r\mathbf{u}+s\mathbf{u}.$
7. 對任意 $r\in\mathbb{R}$ 以及 $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$ 皆有 $r(\mathbf{u}+\mathbf{v})=r\mathbf{u}+r\mathbf{v}$.
8. 對任意 $\mathbf{u}\in\mathbb{R}^n$, 皆有 $1\mathbf{u}=\mathbf{u}$.

Proposition 1.2.3 (3) 所提的 $\mathbf{0}$ 其實就是向量 $(a_1,\dots,a_n)$, 其中 $a_i=0$, $\forall\,1\le i\le n$, 我們也稱此 $\mathbf{0}$ 為零向量. 另外若 $\mathbf{u}=(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb{R}^n$, 則 Proposition 1.2.3 (4) 所提的 $\mathbf{u'}$ 其實就是 $(b_1,\dots,b_n)$, 其中 $b_i=-a_i$, $\forall\,1\le i\le n$. 由係數積的定義我們可得

$$\mathbf{u'}=(-a_1,\dots,-a_n)=(-1)(a_1,\dots,a_n)=(-1)\mathbf{u}.$$

因此我們又將此 $\mathbf{u'}$ 簡記成 $-\mathbf{u}$. 有了這些性質, 我們可以將 $\mathbb{R}^n$ 的向量如實數般運算. 例如, 若 $\mathbf{v}+\mathbf{u}=\mathbf{u}$, 則等式兩邊加上 $-\mathbf{u}$, 可得

$$\mathbf{0}=\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=(\mathbf{v}+\mathbf{u})+(-\mathbf{u})=\mathbf{v}+(\mathbf{u}+(-\mathbf{u}))=\mathbf{v}+\mathbf{0}=\mathbf{v}.$$

從這裡我們知道只要 $\mathbf{v}+\mathbf{u}=\mathbf{u}$, 就能確保 $\mathbf{v}=\mathbf{0}$. 換言之, $\mathbf{0}$ 會是在 $\mathbb{R}^n$ 中``唯一''的一個向量會滿足 Proposition 1.2.3 (3) 中所說 $\mathbf{0}+\mathbf{u}=\mathbf{u}$. 又例如若 $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{0}$, 則等式兩邊加上 $-\mathbf{u}$ 可得

$$-\mathbf{u}=(-\mathbf{u})+\mathbf{0}=(-\mathbf{u})+(\mathbf{u}+\mathbf{v})=(-\mathbf{u}+\mathbf{u})+\mathbf{v}=\mathbf{0}+\mathbf{v}=\mathbf{v}.$$

也就是說給定 $\mathbf{u}\in\mathbb{R}^n$, $-\mathbf{u}$ 會是 $\mathbb{R}^n$ 中唯一的向量會滿足 $\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=\mathbf{0}.$ 綜合以上的結果, 我們有以下的性質.

Proposition 1.2.4   假設 $\mathbf{u}=(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb{R}^n$. 則我們有以下的性質:

1. $\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$ 滿足 $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{u}$ 若且唯若
   $$\mathbf{v}=\mathbf{0}=(0,\dots,0).$$

2. $\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n$ 滿足 $\mathbf{u}+\mathbf{w}=\mathbf{0}$ 若且唯若
   $$\mathbf{w}=-\mathbf{u}=(-1)(a_1,\dots,a_n)=(-a_1,\dots,-a_n).$$

Remark 1.2.5   Proposition 1.2.3 (3),(4) 其實談的是零向量和反向量的存在性而 Proposition 1.2.4 (1),(2) 談的是它們的唯一性. 同學或許會奇怪為何要將它們分開敘述呢? 這裡我們雖然用 $\mathbb{R}^n$ 的加法及係數積的定義得到 Proposition 1.2.4, 事實上此 Proposition 1.2.4 是可以直接用 Proposition 1.2.3 得到的 (以後我們在抽象的向量空間中就會這麼處理). 就像我們在前一節所述, Proposition 1.2.3 中所述的這些性質就足以推導出一般向量有關的性質, 這些等到我們用抽象的方法定義向量空間時就會清楚, 這裡就不再詳談.

既然 $\mathbb{R}^n$ 中向量的運算都可像實數一般處理, 我們可以如實數一樣引用``減法''的符號, 即將 $\mathbf{w}+(-\mathbf{v})$ 寫成 $\mathbf{w}-\mathbf{v}$. 如此一來以後我們在一些等式的推演時就直接沿用大家習慣的「移項」的說法. 例如 $2\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{w}$, 我們就直接移項且乘以 $1/2$ 得 $\mathbf{u}=1/2(\mathbf{w}-\mathbf{v})$.