Span of Vectors

在 $\mathbb{R}^n$ 中有許多由 $\mathbb{R}^n$ 中的向量展成的``子空間''. 這些子空間是這一節要探討的課題. 所謂子空間以後我們後有更正式的定義, 這裡我們僅暫時借用這個名詞, 大略指的是 $\mathbb{R}^n$ 中一些向量所組成的特殊子集合 (subset).

我們先從熟悉的坐標平面開始. 在坐標平面中我們最常談的就是直線. 一個直線通常有很多方式來表示, 若用通俗一點的說法一個直線可以說是通過一特定點且沿著一特定方向前進(或後退)所得的點所成的集合. 如果這個特定點用 $P$ 來表示, 而 $Q$ 為此直線上另外一點, 則用向量的觀點來說就是此直線是通過 $P$ 點且沿著 $\overrightarrow{PQ}$ 方向的直線. 這個向量 $\overrightarrow{PQ}$ 我們稱為此直線的``方向向量'' (directional vector). 一個直線的方向向量並不唯一, 因為若 $Q'$ 為此直線上 $P,Q$ 以外的另一點, 則 $\overrightarrow{PQ'}$ 也會是此直線的一個方向向量. 不過因為 $P,Q,Q'$ 皆在同一直線上, 依直線的定義我們知道會存在一實數 $r$ 使得 $\overrightarrow{PQ'}=r\overrightarrow{PQ}$. 因此若已知ㄧ非零向量 $\mathbf{v}$ 為一直線的方向向量, 則此直線上任兩點 $P,Q$ 所成的向量都會存在一實數 $r$ 使得 $\overrightarrow{PQ}=r\mathbf{v}$. 反之若已知ㄧ直線 $L$ 通過 $P$ 點且其方向向量為 $\mathbf{v}$, 若 $Q$ 點滿足 $\overrightarrow{PQ}=r\mathbf{v}$, 其中 $r\in\mathbb{R}$, 則知 $Q$ 點會在此直線 $L$ 上. 因此我們可以用以下的集合來表示通過 $P$ 點且方向向量為 $\mathbf{v}$ 的直線 $L$ 上的點, 即

$$L=\{Q\mid\overrightarrow{PQ}=r\mathbf{v}, r\in\mathbb{R}\}.$$

通常在集合的表示法中, 如果無法用列舉的方式一一列舉此集合的元素時, 我們會用上面的方法來表示. 也就是在 ``$\vert$'' 的左邊寫下此集合元素的形式, 右邊寫下這些元素所需符合的性質. 在這裡左邊的 $Q$ 表示此集合所組成的元素是像 $Q$ 這樣的點, 而右邊 $\overrightarrow{PQ}=r\mathbf{v}$, $r\in\mathbb{R}$ 表示 $Q$ 點需滿足 $\overrightarrow{PQ}=r\mathbf{v}$, 其中 $r$ 為實數.

從上面可知若 $\mathbf{v}$ 是直線 $L$ 的方向向量那麼對任意非零實數 $r$, 若 $\mathbf{w}=r\mathbf{v}$, 則 $\mathbf{w}$ 也是 $L$ 的方向向量. 為了方便起見我們就稱 $\mathbf{w}$ 和 $\mathbf{v}$ 為平行的向量. 若兩直線它們的方向向量是平行的, 我們就稱此二直線相平行.

我們可以發現, 上面這種用向量來描述一直線上的點的方法, 不僅在坐標平面中適用, 在坐標空間甚至更高維度的空間皆適用. 所以在 $\mathbb{R}^n$ 中若 $\mathbf{v}$ 是一個非零向量,

$$\{\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n\mid \mathbf{w}=r\mathbf{v},\,r\in\mathbb{R}\}$$

這一類由向量所組成的集合便顯得重要. 提醒一下, 這個集合表示法 $\mid$ 的左邊是``向量'', 表示是由向量所成的集合, 和前面直線 $L$ 的集合表法 $\mid$ 左邊是``點''表示是由點所成的集合有所不同, 大家應區分清楚.

在坐標空間中除了直線另一個大家常探討的便是平面. 同樣的一個平面也有許多表示法. 和向量有關的最常見的就是法向量的表示法, 不過關於法向量的看法因牽涉內積我們留待以後再說明, 這裡我們依然沿用剛才直線的看法. 也就是說每一個平面, 我們都可以在其上找到兩個不平行的直線 $L_1,L_2$, 而整個平面就是沿著其中一條直線 $L_1$ 畫出與 $L_2$ 平行的直線而得. 換言之, 若 $L_1,L_2$ 分別為此平面上不平行的兩條直線, 其方向向量分別為 $\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}$ 且相交於 $P$ 點, 則對 $L_1$ 上任一點 $Q$ 皆可找到 $r_1\in\mathbb{R}$ 滿足 $\overrightarrow{PQ}=r_1\mathbf{v_1}$. 而通過 $Q$ 點且與 $L_2$ 平行的直線會在此平面上, 亦即若 $R$ 點會在此與 $L_2$ 平行的直線上, 則可找到 $r_2\in\mathbb{R}$ 使得 $\overrightarrow{QR}=r_2\mathbf{v_2}$. 利用 $\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}$ 我們可得

$$\overrightarrow{PR}=r_1\mathbf{v_1}+r_2\mathbf{v_2},$$

也就是說對於平面上任一點 $R$ 皆可找到 $r_1,r_2\in\mathbb{R}$ 滿足 $\overrightarrow{PR}=r_1\mathbf{v_1}+r_2\mathbf{v_2}$. 反之若 $R$ 滿足 $\overrightarrow{PR}=r_1\mathbf{v_1}+r_2\mathbf{v_2}$, 我們也可知 $R$ 會落在一個過 $L_1$ 且與 $L_2$ 平行的直線上, 也就是說 $R$ 會在此平面上. 所以若一平面 $H$ 通過 $P$ 點且 $\mathbf{v_1},\mathbf{v_2}$ 為 $H$ 上兩條不平行的直線的方向向量, 我們也可用以下的集合表示平面 $H$ 上的點, 即

$$H=\{R\mid\overrightarrow{PR}=r_1\mathbf{v_1}+r_2\mathbf{v_2},\,r_1,r_2\in\mathbb{R}\}.$$

要注意表示 $H$ 的這兩個向量 $v_1,v_2$ 並不唯一, 至於要怎樣的兩個向量可以同樣描述 $H$ 這個平面, 這裡我們暫不探討, 留待以後我們學習更多線性代數理論時再探討. 這裡我們將專注於 $\{\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n\mid \mathbf{w}=r\mathbf{v}, r\in\mathbb{R}\}$ 以及 $\{\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n\mid \mathbf{w}=r_1\mathbf{v_1}+r_2\mathbf{v_2}, r_1,r_2\in\mathbb{R}\}$ 這一類由向量所組成的集合.

上述有關平面的向量表示法, 不僅在坐標空間上適用, 我們可以將上述概念推廣至 $\mathbb{R}^n$ 上且考慮更一般的情形. 在 $\mathbb{R}^n$ 上我們不只可談直線和平面, 還有許多和直線平面有類似的特性的事物值得探討. 我們自然引進以下的定義.

Definition 1.3.1   令 $\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m}\in\mathbb{R}^n$, 若存在 $r_1,\dots,r_m\in\mathbb{R}$ 使得

$$\mathbf{w}=r_1\mathbf{v_1}+\cdots+r_m\mathbf{v_m},$$

則稱 $\mathbf{w}$ 為 $\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m}$ 的一個 linear combination (線性組合). 所有 $\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m}$ 的 linear combinations 所組成的集合稱為它們的 span (展成的空間), 我們用 $\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m})$ 來表示這個集合, 也就是說

$$\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m})=\{\mathbf{w}\in\ma... ...athbf{w}=r_1\mathbf{v_1}+\cdots+r_m\mathbf{v_m},\,r_1,\dots,r_m\in\mathbb{R}\}.$$

要注意因為 $\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m}$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中, 所以 $\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m}$ 的一個線性組合仍在 $\mathbb{R}^n$ 中. 也就是說 $\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m})$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一個子集合. 這個子集合具有一重要的性質, 我們稱之為 $\mathbb{R}^n$ 的「子空間」(以後會給正式定義). 這個子集合具有怎樣的特殊性質呢? 比方說利用定義我們可以知零向量 $\mathbf{0}$ 一定會在 $\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m})$ 中 (即每個 $r_i$ 皆取為 0), 又若 $\mathbf{w}\in\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m})$, 則因 $\mathbf{w}=r_1\mathbf{v_1}+\cdots+r_m\mathbf{v_m}$ 可知 $-\mathbf{w}=(-r_1)\mathbf{v_1}+\cdots+(-r_m)\mathbf{v_m}$ 也就是說 $-\mathbf{w}\in\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m})$. 這些性質我們可以推廣到更一般的情況而得到以下的定理.

Proposition 1.3.2   給定 $\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m}\in\mathbb{R}^n$, 則對任意 $\mathbf{u},\mathbf{w}\in\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m})$ 以及 $s,t\in\mathbb{R}$ 皆有

$$s\mathbf{u}+t\mathbf{w}\in\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m}).$$

証 明. 因 $\mathbf{u},\mathbf{w}\in\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m})$ 由定義知存在 $r_1,\dots,r_m\in\mathbb{R}$ 以及 $r_1',\dots,r_m'\in\mathbb{R}$ 使得 $\mathbf{u}=r_1\mathbf{v_1}+\cdots+r_m\mathbf{v_m}$ 以及 $\mathbf{w}=r'_1\mathbf{v_1}+\cdots+r'_m\mathbf{v_m}$. 因此得

$$s\mathbf{u}+t\mathbf{w}=(sr_1+tr'_1)\mathbf{v_1}+\cdots+(sr_m+tr'_m)\mathbf{v_m}.$$

也就是說 $s\mathbf{u}+t\mathbf{w}$ 仍為 $\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m}$ 的一個線性組合, 故得證 $s\mathbf{u}+t\mathbf{w}\in\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m}).$ $\qedsymbol$

雖然在 Proposition 1.3.2 中我們僅提及 $\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m})$ 中的兩個向量的線性組合仍在 $\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m})$ 中, 不過利用數學歸納法, 我們可以證得任意有限多個 $\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m})$ 中的向量的線性組合也會在 $\mathrm{Span}(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_m})$ 中.