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坐標平面上有一以點 V(0, 3) 為頂點、F(0, 6) 為焦點的拋物線。設 P(a, b) 為此拋物線上一點，Q(a, 0) 為 P 在 x 軸上的投影，滿足 $\angle$FPQ = 60^o，求 b 之值.

說明:本題明明白白的就是考拋物線. 可以寫下此拋物線的方程式, 然後坐標幾何的方式求解; 也可以由拋物線的定義, 直接用幾何方式求解.

若用坐標的方式, 由題目給的條件 $\angle$FPQ = 60^o, 應可以用內積解決. 意即先寫下 $\overrightarrow{PF}$ = (- a, 6 - b), $\overrightarrow{PQ}$ = (0, - b), 再利用此二向量之內積 $\overrightarrow{PF}$ ^. $\overrightarrow{PQ}$ = $\overline{PF}$ $\overline{PQ}$cos 60^o 得

$${\textstyle\frac{1}{2}} \sqrt{b^2} \sqrt{a^2+(6-b)^2}$$ (96.5)

最後由於 (a, b) 所在拋物線方程式為 x² = 12(y - 3), 利用 a² = 12b - 36, 代入上式 (96.5) 解得 b = 0 或 b = 12. 由於 b = 0 不合, 故知 b = 12.

其實關於圓錐曲線的問題很多都可以利用這些曲線的定義來求解. 用定義方式處理的好處是不需特別寫下曲線的方程式 (若曲線經過旋轉就不容易寫下方程式). 首先大致作圖如下.

要注意雖然我們將 P 點標於第一象限, 但因為我們是用幾何的方法, 所以這裡 P 點在第一或第二象限都沒有關係. 由於 x 軸是準線, 依拋物線的定義, 我們知 $\overline{PF}$=$\overline{PQ}$, 也就是說三角形 FPQ 是一個等腰三角形. 又知 $\angle$FPQ = 60^o, 故得三角形 FPQ 事實上是一個正三角形. 因此, 若令 O 為原點, 則三角形 FQO 為直角三角型且 $\angle$FQO = 30^o. 所以由 $\overline{FO}$ = 6, 得知 $\overline{FQ}$ = $\overline{PQ}$ = 12, 即 b = 12.

當然了, 數學方法中並沒有說一次只能用一種方法處理問題. 有時各種方法互相配合使用, 也是不錯的選擇. 例如此題, 若用坐標的方法, 又利用幾何性質知道了 $\overline{PF}$ = $\overline{PQ}$. 那麼在式子 (96.5) 中就可以直接由 a² + (6 - b)² = b², 而求得 b 之值了.