其中一個好處就是很容易求出 inverse. 首先來看單一一個 cycle 的情況.
如果
x {a1,..., ak} 則自然
(x) =
(x) = x,
所以此時
若
=
...
是
的 disjoint cycle
decomposition. 則我們可以利用 Lemma 3.4.6 將每一個
的 inverse 求出. Lemma 3.4.6 也告訴我們這些
,...,
是 disjoint cycles.
所以可以很容易的就將
的 disjoint cycle decomposition
寫出. 例如若
= (1 2 3)(4 5), 我們馬上得
= (3 2 1)(5 4).
寫成 disjoint cycle 的另一個好處是能夠很快的求出 Sn 中元素的 order. 我們還是先來看單一一個 cycle 的情況.
當
1i
k - 1 時,
(a1) = ai + 1. 由於
2
i + 1
k, 我們知
ai + 1
a1, 也就是說
(a1)
a1. 所以
不可能是 identity.
另外,若
x {a1,..., ak} 時, 當然有
(x) = x.
而由定義知對所有的
x
{a1,...ak} 皆有
(x) = x.
所以得
是 identity.
我們已知ㄧ個 cycle 的 order 為何, 但要求一些 disjoint cycles 的乘積的 order 我們需要以下這個一般 group 的性質:
若令 ord(a) = n 且 ord(b) = m, 而 l = lcm[n, m], 則由 a . b = b . a 知 (a . b)l = al . bl = e. 此證明了 l 符合 ord(a . b) 的條件 (1).
現若
(a . b)r = e, 知
ar . br = e, 也就是
ar = b-r.
然而
ar
a
且
b-r
b
, 故知
ar
a
b
. 利用假設
a
b
= {e}, 得 ar = e 且
b-r = (br)-1 = e (也就是 br = e). 因
ord(a) = n,
ord(b) = m,
利用條件 (2) 知 n | r 且 m | r. 也就是 r 是 n, m
的公倍數. 再利用最小公倍數的性質知
l = lcm[n, m] | r. 此證明了 l
符合
ord(a . b) 的條件 (2). 所以
ord(a . b) = l = lcm[ord(a),ord(b)].
接下來我們可以用數學歸納法. 因
,...
,
是 disjoint, 故有
ord(![]() |
= | ord((![]() ![]() ![]() |
|
= | lcm[lcm[n1,..., nr - 1], nr] | ||
= | lcm[n1,..., nr - 1, nr]. |
Proposition 3.4.9 告訴我們一個很快的方法計算 Sn 的元素的
order. 例如若
= (1 2 3)(4 5) 則
ord(
) = lcm[2, 3] = 6. 這比你一個一個去乘快多了. 不過要記住
Proposition 3.4.9 只能當 disjoint cycle 乘在一起才適用. 例如
(1 2 3)(3 2 1) 是 identity. 其 order 為 1 不是
lcm[3, 3] = 3.