Group action on left coset

若 H 是 G 的一個 subgroup, 用 a^{-1 .} b $\in$ H 表示 a, b 同類的分類方法, 我們在 Lemma 2.2.1 中知道和 a 同類的元素所成的集合可用

a ^. H = {a ^. h | h $$\in$$ H}

來表示. 因此我們將用 a ^. H 來表示和 a 同類的元素所成的集合, 一般來說稱 a ^. H 這樣的集合為 H 在 G 中 的一個 left coset. 我們再次強調一次若 a ^. H = b ^. H 表示 a^{-1 .} b $\in$ H. 反之, 若 a ^. H$\ne$b ^. H, 則 a^{-1 .} b $\not\in$H.

若 G 是一個 finite group, 且 H 是 G 的一個 subgroup. 令 S 為所有 H 在 G 中的 left coset 所成的集合. 換言之,

S = {a ^. H | a $$\in$$ G}.

也就是說我們將 a ^. H 看成是一個元素. 現在我們要定一個 H 對 S 的作用: 對任意的 h $\in$ H, a ^. H $\in$ S, 我們定義

h*(a ^. H) = (h ^. a) ^. H.

我們要證明這樣定的 (H, S,*) 是一個 group action. 首先證明 (Act1). 對任意的 h $\in$ H, a ^. H $\in$ S, 由於 h*(a ^. H) = (h ^. a) ^. H, 而 h ^. a 是 G 的一個元素, 由定義知它當然是 H 在 G 中的一個 left coset. 再來因

e*(a ^. H) = (e ^. a) ^. H = a ^. H,

故知 (Act2) 也成立. 最後若 h, h' $\in$ H, 則對於任意的 a ^. H $\in$ S, 我們皆有

h*(h'*(a ^. H)) = h*((h' ^. a) ^. H) = (h ^. (h' ^. a)) ^. H,

和

(h ^. h')*(a ^. H) = ((h ^. h') ^. a) ^. H.

所以利用結合率知 (Act3) 也成立.

S 是所有 H 在 G 中的 left coset 所成的集合, 也就是說 S 的個數就是 H 在 G 中分類後可分的類別個數. 我們在證明 Lagrange 定理 (Theorem 2.2.2) 時已算出此數為 | G|/| H|, 故得

$${\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}$$ (4.9)

什麼會是 S₀ 呢? 若 a ^. H $\in$ S₀, 則對於所有 h $\in$ H 皆有 h*(a ^. H) = a ^. H. 然而 h*(a ^. H) = (h ^. a) ^. H, 這告訴我們

a ^. H = (h ^. a) ^. H.

也就是 a^{-1 .} h ^. a $\in$ H. 所以若 a ^. H $\in$ S₀ 則對於所有的 h $\in$ H, 皆有 a^{-1 .} h ^. a $\in$ H. 反之, 若 a 符合對於所有的 h $\in$ H, 皆有 a^{-1 .} h ^. a $\in$ H, 則 a ^. H $\in$ S₀. 所以我們得到

$$\in \forall \in$$ (4.10)

由於我們想了解 S₀, 我們必須更深入的討論像 a 這種對於所有的 h $\in$ H, 皆有 a^{-1 .} h ^. a $\in$ H 這樣性質的元素. 若 a 有這種性質, 由定義知 a^{-1 .} H ^. a $\subseteq$ H. 由於 G 是一個 finite group, 由 Lemma 1.5.2 我們知 | a^{-1 .} H ^. a| = | H|, 因此得 a^{-1 .} H ^. a = H. 所以我們可以將式子 (4.10) 改寫成

S₀ = {a ^. H | a^{-1 .} H ^. a = H}. (4.11)

其實我們常把符合 a^{-1 .} H ^. a = H 的 a 所成的集合寫成 N(H), 也就是

N(H) = {a $$\in$$ G | a^{-1 .} H ^. a = H}.

其實 N(H) 是 G 的一個 subgroup. 這是因為若 a, b $\in$ N(H), 則 a^{-1 .} H ^. a = H 且 b^{-1 .} H ^. b = H, 所以

(b ^. a)^{-1 .} H ^. (b ^. a) = a^{-1 .} (b^{-1 .} H ^. b) ^. a = a^{-1 .} H ^. a = H.

也就是 b ^. a $\in$ N(H), 這證得了封閉性. 至於 inverse, 由於 a^{-1 .} H ^. a = H, 所以

a ^. (a^{-1 .} H ^. a) ^. a^-1 = a ^. H ^. a^-1.

不過以上等式左邊等於 H, 而右邊可寫成 (a^-1)^{-1 .} H ^. a^-1, 故知 a^-1 $\in$ N(H).

若 h $\in$ H, 因 H 是一個 group, 我們知 h^-1 $\in$ H, 所以對於所有的 h' $\in$ H 皆有 h^{-1 .} h' ^. h $\in$ H. 由此知 h^{-1 .} H ^. h = H, 也就是 h $\in$ N(H). 所以 H $\subseteq$ N(H), 換句話說 H 是 N(H) 的一個 subgroup. 既然 H 是 N(H) 的一個 subgroup, 由 Lagrange 定理知 | H| 整除 | N(H)|. 別忘了由式子 (4.11) 我們有 S₀ = {a ^. H | a $\in$ N(H)}, 也就是說 S₀ 的個數應該是 N(H) 裡的元素用 H 分類後所得的類別個數, 因此我們有

$${\frac{\vert N(H)\vert}{\vert H\vert}}$$ (4.12)

我們要強調因 H 是 N(H) 的 subgroup, 所以在分類時至少有 e ^. H = H 這一類. 所以知

$$\ge$$ (4.13)

通常我們稱 N(H) 是 H 的 normalizer, 這是因為 H 不只是 N(H) 的 subgroup, 其實是 N(H) 的 normal subgroup. 要證 normal, 我們需要證: 給定 h $\in$ H, 對任意的 a $\in$ N(H) 皆有 a^{-1 .} h ^. a $\in$ H. 然而 a^{-1 .} H ^. a = H, 當然得 a^{-1 .} h ^. a $\in$ H. 我們將此寫成以下的 Lemma.

Lemma 4.4.1   若 H 是 G 的 subgroup. 令 N(H) = {a $\in$ G | a^{-1 .} H ^. a = H}, 則 H 是 N(H) 的一個 normal subgroup.