The Hamilton quaternions

大家都知道複數 $\mathbb {C}$ 的元素可寫成 a + bi, 其中 a, b $\in$ $\mathbb {R}$ 而 i $\not\in$$\mathbb {R}$ 滿足 i² = - 1. 我們都知道如何定 $\mathbb {C}$ 中的加法和乘法, 也就是: 若 a + bi, a' + b'i $\in$ $\mathbb {C}$, 則

(a + bi) + (a' + b'i) = (a + a') + (b + b')i

和

(a + bi) ^. (a' + b'i) = aa' + ab'i + ba'i + bb'i² = (aa' - bb') + (ab' + ba')i.

不難驗證在此加法和乘法之下 $\mathbb {C}$ 是一個 commutative ring with 1, 其中 0 + 0i 和 1 + 0i 分別是 $\mathbb {C}$ 的 0 和 1. 利用大家熟悉的式子

(a + bi) ^. (a - bi) = (a² + b²) + 0i, (5.4)

我們很容易得到若 a + bi$\ne$0 + 0i (即 a$\ne$ 0 或 b$\ne$ 0), 則

(a + bi) ^. ($${\frac{a}{a^2+b^2}}$$ + $${\frac{b}{a^2+b^2}}$$i) = 1 + 0i.

也就是說在 $\mathbb {C}$ 中不等於 0 的數都是 unit, 所以 $\mathbb {C}$ 是一個 field.

利用和由 $\mathbb {R}$ 創造出 $\mathbb {C}$ 類似的方法, Hamilton 引進了下列的數:

$$\mathbb {H}$$ = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d $$\in$$ $$\mathbb {R}$$},

其中 i,j,k$\ne$$\mathbb {R}$, 我們稱 $\mathbb {H}$ 為 the Hamilton quaternions. 我們可以定 $\mathbb {H}$ 的加法如下: 若 a + bi + cj + dk, a' + b'i + c'j + d'k $\in$ $\mathbb {H}$, 則

(a + bi + cj + dk) + (a' + b'i + c'j + d'k) = (a + a') + (b + b')i + (c + c')j + (d + d')k.

要定義 $\mathbb {H}$ 的乘法我們首先定義 i, j 和 k 間的乘法如下:

1. i² = j² = k² = - 1,
2. i ^. j = k = - j ^. i,
3. j ^. k = i = - k ^. j,
4. k ^. i = j = - i ^. k.

對任意的 a + bi + cj + dk, a' + b'i + c'j + d'k $\in$ $\mathbb {H}$, 我們定其相乘為一項一項用分配率展隋A將 `實數項' 及 i,j,k 項的係數合併. 也就是說

(a + bi + cj + dk) ^. (a' + b'i + c'j + d'k) = $$\alpha$$ + $$\beta$$i + $$\gamma$$j + $$\delta$$k,

其中

$$\alpha$$ = aa' - bb' - cc' - dd'

$$\beta$$ = ab' + ba' + cd' + dc'

$$\gamma$$ = ac' - bd' + ca' + db'

$$\delta$$ = ad' + bc' - cb' + da'

不難驗證在此加法和乘法之下 $\mathbb {H}$ 是一個 ring with 1, 其中 0 + 0i + 0j + 0k 和 1 + 0i + 0j + 0k 分別是 $\mathbb {H}$ 的 0 和 1. 不過 $\mathbb {H}$ 不再是 commutative ring, 這可以由

(0 + 1i + 0j + 0k) ^. (0 + 0i + 1j + 0k) = 0 + 0i + 0j + 1k

但

(0 + 0i + 1j + 0k) ^. (0 + 1i + 0j + 0k) = 0 + 0i + 0j - 1k

看出. 大家很容易就可證出, $\mathbb {H}$ 也有類似式子 (5.4) 的重要等式:

(a + bi + cj + dk) ^. (a - bi - cj - dk) = (a² + b² + c² + d²) + 0i + 0j + 0k. (5.5)

利用式子 (5.5) 我們可以看出, 若 a + bi + cj + dk$\ne$0 + 0i + 0j + 0k (即 a, b, c, d 不全為 0), 令 $\lambda$ = a² + b² + c² + d², 則

(a + bi + cj + dk) ^. ($${\frac{a}{\lambda}}$$ - $${\frac{b}{\lambda}}$$ i - $${\frac{c}{\lambda}}$$ j - $${\frac{d}{\lambda}}$$ k) = 1 + 0i + 0j + 0k.

也就是說在 $\mathbb {H}$ 中不等於 0 的數都是 unit, 所以 $\mathbb {H}$ 是一個 noncommutative division ring.

如果大家不健忘的話, 應該記得 {±1 ±i,±j,±k} 就是我們在 4.7 節介紹的 quaternion group Q₈. 事實上對任意的 group 你都可以用類似的方法建構出一個 ring, 這樣的 ring 我們稱為 group ring.