Sylow 定理的應用

我們已大致介紹完了 group 的一些基本性質. 在這有關 group 的最後一節中我們介紹一些可以利用 Sylow 定理得到的性質. 其實這些性質不只要用到 Sylow 定理, 還需要一些前面學過的定理輔助, 所以把它放在 group 的最後一節讓大家複習一下前面所學的, 也算給 group 一個完美的結局.

我們曾碰過有些特殊 order 的 group, 我們可以僅由其 order 就能判斷出這個 group 長甚麼樣子 (例如 order p 的 group 是 cyclic, order p² 的 group 是 abelian). 現在我們要談更多類似的結果.

Proposition 4.7.1   若 G 是一個 group 且 | G| = pⁿq, 其中 n$\ge$1, p 和 q 是相異質數且 p > q. 則 G 的 Sylow p-group 是 G 的 normal subgroup.

証 明. 我們只知道 group 的 order, 沒有其他的訊息, 所以知道不可能用 normal 的定義來直接證得本定理. 相信大家會想到 Second Sylow's Theorem 吧. 如果我們能證得 G 中的 Sylow p-subgroup 只有一個, 那麼利用第二 Sylow 定理 (Corollary 4.5.2) 就可知它是 G 的 normal subgroup 了.

假設 G 有 r 個 Sylow p-subgroup. 由第三 Sylow 定理 (Theorem 4.6.1) 知 r | q 且 r = pk + 1. 不過若 r$\ne$1, 表示 r$\ge$p + 1 > q, 這和 r | q 相矛盾. 因此得 r = 1, 故知 G 的 Sylow p-group 是 G 的 normal subgroup. $\qedsymbol$

我們接下來看 n = 1 的情況.

Proposition 4.7.2   若 G 是一個 group 且 | G| = pq, 其中 p 和 q 是相異質數且 p > q. 若又知 q$\nmid$p - 1, 則 G 是一個 cyclic group.

証 明. 這就更難直接證明了. 首先由於 p, q 皆是質數, Cauchy 定理 (Theorem 4.2.1) 告訴我們 G 中有兩個 subgroups P 和 Q 其 order 分別為 p 和 q. 其實 P 是 G 的 Sylow p-subgroup, Q 是 Sylow q-subgroup. 由 Proposition 4.7.1 知 P 是 G 的 normal subgroup, 而 Q 呢? 假設 G 中有 r 個 Sylow q-subgroup. 由第三 Sylow 定理 (Theorem 4.6.1) 知 r | p 且 r = qk + 1. 如果 r$\ne$1, 由 r | p 知 r = p, 因此得 p = qk + 1. 也就是 qk = p - 1. 此和 q$\nmid$p - 1 相矛盾. 故知 r = 1, 也因此由第二 Sylow 定理 (Corollary 4.5.2) 知 Q 也是 G 的 normal subgroup.

P 和 Q 既然都是 normal subgroup, 如果能證明 P $\cap$ Q = {e} 的話由 Theorem 3.2.4 可得 G $\simeq$ P×Q. 然而 P $\cap$ Q 同時是 P 和 Q 的 subgroup (Lemma 1.5.1), 故由 Lagrange 定理 (Theorem 2.2.2) 知 | P $\cap$ Q| 同時整除 | P| = p 和 | Q| = q. 因此得 | P $\cap$ Q| = 1, 也就是說 P $\cap$ Q = {e}.

好了我們知 G $\simeq$ P×Q, 然而 | P| = p, | Q| = q 都是質數, 故由 Corollary 2.2.3 和 Theorem 3.1.1 知 P $\simeq$ $\mathbb {Z}$/p$\mathbb {Z}$ 且 Q $\simeq$ $\mathbb {Z}$/q$\mathbb {Z}$. 因此利用 Lemma 3.2.5 和 Corollary 3.2.3 得

G $$\simeq$$ P×Q $$\simeq$$ $$\mathbb {Z}$$/p$$\mathbb {Z}$$×$$\mathbb {Z}$$/q$$\mathbb {Z}$$ $$\simeq$$ $$\mathbb {Z}$$/pq$$\mathbb {Z}$$.

故得 G 是一個 cyclic group. $\qedsymbol$

如果 q | p - 1 怎麼辦? 我們來看最簡單的 q = 2 的情況. 也就是說 | G| = 2p, 其中 p 是一個奇質數. 此時由 Proposition 4.7.1 知, G 中唯一的 Sylow p-subgroup P 是 G 的 normal subgroup. 又由於 | P| = p, 故由 Corollary 2.2.3 知存在 a $\in$ G 且 ord(a) = p 使得 P = $\langle$a$\rangle$. 因 2 整除 | G|, 利用 Cauchy 定理 (Theorem 4.2.1) 知存在 b $\in$ G 且 ord(b) = 2. (注意: 此時因 Lagrange's Theorem 知 b $\not\in$P 且 P $\cap$ $\langle$b$\rangle$ = {e}.) 由 P 是 G 的 normal subgroup 知存在 i $\in$ $\mathbb {N}$, 使得 b ^. a ^. b^-1 = aⁱ. 我們要知道 i 是多少. 由於

b ^. (b ^. a ^. b^-1) ^. b^-1 = b ^. a^{i .} b^-1 = (b ^. a ^. b^-1)ⁱ = aⁱ².

而 b² = (b^-1)² = e, 故 a = aⁱ². 也就是說 a^{i2 - 1} = e. 利用 Lemma 2.3.2 得 ord(a) = p | i² - 1. 由於 p 是質數, 我們得 p | i - 1 或 p | i + 1. 也就是說 i = pk + 1 或 i = pk - 1.

若 i = pk + 1, 表示 b ^. a = a ^. b. 然而 $\langle$a$\rangle$ $\cap$ $\langle$b$\rangle$ = {e}. 由 Lemma 3.4.8 知 ord(a ^. b) = 2p = | G|. 換句話說 G 是一個 cyclic group.

若 i = pk - 1, 表示 b ^. a = a^{-1 .} b, 而 a^-1$\ne$a (因 ord(a) = p$\ne$2), 故知 G 不是 abelian. 若令 B = $\langle$b$\rangle$, 因 P 是 G 的 normal subgroup, 由第二 Isomorphism 定理 (Theorem 2.6.4) 知 P ^. B 是 G 的一個 subgroup, 且

P ^. B/P $$\simeq$$ B/P $$\cap$$ B.

由於 P $\cap$ B = {e}, 知 | P ^. B| = | P| ^. | B| = 2p. 也就是說 P ^. B = G. 換句話說

G = {a^{i .} b^j | 0$$\le$$i$$\le$$p - 1, 0$$\le$$j$$\le$$1}.

事實上我們可證明存在這樣的一個 group. 我們稱之為 dihedral group of degree p, 記作 D_p. 綜合以上我們證得了以下的結果.

Proposition 4.7.3   若 G 是一個 group 且 | G| = 2p, 其中 p 是一個奇質數, 則

G $$\simeq$$ $$\mathbb {Z}$$/2p$$\mathbb {Z}$$    or    G $$\simeq$$ D_p.

Proposition 4.7.3 告訴我們 D_p 是唯一的 order 為 2p 的 nonabelian group. 事實上對所有的 n$\ge$3, 都存在一個 nonabelian group

D_n = {a^{i .} b^j | 0$$\le$$i$$\le$$n - 1, 0$$\le$$j$$\le$$1},

是由兩個元素 a, b 所產生, 其中 ord(a) = n, ord(b) = 2 且 b ^. a = a^{-1 .} b. 這樣的 nonabelian group, 我們稱之為 dihedral group of degree n. 它的 order 為 2n. 不過當 n 不是質數時, D_n 就不一定是唯一的 order 為 2n 的 nonabelian group 了.

最後我們想以探討所有 order 小於 10 的 group 有哪些作為 group 這個部份的結束.

當然 order 為 1 的就只有 identity. order 為 2, 3, 5, 7 的 group 都是 cyclic 分別 isomorphic to, $\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$, $\mathbb {Z}$/3$\mathbb {Z}$, $\mathbb {Z}$/5$\mathbb {Z}$, $\mathbb {Z}$/7$\mathbb {Z}$.

order 為 4 的 group 由 Proposition 4.3.3 知有兩種, 分別 isomorphic to $\mathbb {Z}$/4$\mathbb {Z}$ 和 $\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$. 同理 order 為 9 的也只有兩種, 分別 isomorphic to $\mathbb {Z}$/9$\mathbb {Z}$ 和 $\mathbb {Z}$/3$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/3$\mathbb {Z}$.

order 為 6 的 group 由 Proposition 4.7.3 知也有兩種, 一個是 abelian 另一個是 nonabelian, 它們分別 isomorphic to $\mathbb {Z}$/6$\mathbb {Z}$ 和 D₃. 有的同學或許會疑問: 我們學過 S₃ 它也有 3! = 6 個元素, 為何沒有列出呢? 別緊張! 事實上 S₃ 是 nonabelian, 我們可以證得 S₃ $\simeq$ D₃. 其中 S₃ 的 (1  2  3) 就對應到 D₃ 中的 order 為 3 的元素 a, 而 (1  2) 就對應到 D₃ 中的 order 為 2 的元素 b, 且

(1  2)(1  2  3) = (2  3) = (3  2  1)(1  2).

同理 order 為 10 的 group 也有兩種, 它們分別 isomorphic to $\mathbb {Z}$/10$\mathbb {Z}$ 和 D₅.

最後有點棘手的是 order 為 8 的 group. Abelian 的部分還好處理, 我們知道有 $\mathbb {Z}$/8$\mathbb {Z}$, $\mathbb {Z}$/4$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$ 和 $\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$. 至於 nonabelian 部分我們已知有個

D₄ = {a^{i .} b^j | 0$$\le$$i$$\le$$3, 0$$\le$$j$$\le$$1},

其中 ord(a) = 4, ord(b) = 2 且 b ^. a = a^{-1 .} b. 事實上還有另一個很常見的 order 為 8 的 nonabelian group Q₈, 稱之為 quaternion group. 最常見的 Q₈ 表示法如下:

Q₈ = {±1, ±i, ±j ±k},

其中 i² = j² = k² = - 1 且 i ^. j = - j ^. i = k. 因為 Q₈ 中 order 為 4 的元素有 6 個 (即 ±i, ±j 和 ±k), 而 D₄ 中只有兩個 (即 a 和 a³) 故知 Q₈ 和 D₄ 並不 isomorphic. 我們要證明 order 8 的 nonabelian group 只有這兩種.

Proposition 4.7.4   若 G 是一個 order 為 8 的 nonabelian group, 則

G $$\simeq$$ D₄    or    G $$\simeq$$ Q₈.

証 明. 因 | G| = 8, 由 Lagrange 定理 (Corollary 2.3.4) 知 G 中元素的 order 只能是 1, 2, 4 或 8. 我們要證明 G 中必有一元素其 order 為 4. 若 G 中有元素之 order 為 8, 知 G 為 cyclic 和 G 是 nonabelian 相矛盾. 因此若沒有元素 order 為 4 表示任意 G 中非 identity 的元素的 order 皆為 2, 也就是說所有的 g $\in$ G 都滿足 g² = e. 若真如此, 任取 a, b $\in$ G, 我們知

e = (a ^. b)² = (a ^. b) ^. (a ^. b),

故得

a ^. b = a ^. (a ^. b) ^. (a ^. b) ^. b = b ^. a

這又和 G 是 nonabelian 相矛盾. 故知 G 中必存在 order 為 4 的元素.

現取 a $\in$ G 其中 ord(a) = 4. 因 $\langle$a$\rangle$ 是一個 order 為 4 = 2² 的 subgroup 而 | G| = 8 = 2³, 故由第一 Sylow 定理 (Theorem 4.4.2) 知, G 存在一個 subgroup K 其中 | K| = 2^{2 + 1} 且 $\langle$a$\rangle$ 是 K 的 normal subgroup. 但由於 | K| = | G|, 故知 K = G. 因此 $\langle$a$\rangle$ 是 K 的 normal subgroup.

既然 $\langle$a$\rangle$ 是 K 的 normal subgroup, 任取 b $\in$ G 但 b $\not\in$$\langle$a$\rangle$, 皆存在 i $\in$ $\mathbb {N}$ 使得 b ^. a ^. b^-1 = aⁱ. 我們想要知道 i 為多少. 首先觀察若 ord(b ^. a ^. b^-1) = r, 即

(b ^. a ^. b^-1)^r = b ^. a^{r .} b^-1 = e,

則得 a^r = e. 故由 Lemma 2.3.2 知 4 | r. 然而 (b ^. a ^. b^-1)⁴ = b ^. a^{4 .} b^-1 = e 故知 r | 4. 也就是說 ord(b ^. a ^. b^-1) = 4. 由 Lemma 2.3.3 之只有當 i = 1, 3 時 ord(aⁱ) = 4, 故知若 b ^. a ^. b^-1 = aⁱ, 則 i = 1 或 i = 3. 不過如果 i = 1 表示 b ^. a = a ^. b 故知 G 是 abelian, 此又和 G 是 nonabelian 的假設相矛盾. 因此知

b ^. a = a^{3 .} b = a^{-1 .} b.

最後由於 b $\not\in$$\langle$a$\rangle$, 只有可能 ord(b) = 2 或 ord(b) = 4. 若 ord(b) = 2 則知 G $\simeq$ D₄; 若 ord(b) = 4, 則知 G $\simeq$ Q₈. 故得證 order 8 的 nonabelian group 只有兩種. $\qedsymbol$

如果同學有興趣當然可以一直找下去: order 11 的 group 有多少 (這個簡單)? order 12 的有多少? 這樣一直下去問題越來越困難. 大家應不難了解問題的困難度和 order 大小無關, 而是和其質因數的分解有關. 大家應能體會次方越大就越複雜, 例如 order 16 的 group 就有 14 個, 而 order 32 的 group 就有高達 51 個之多.