Direct Product

若給定兩個(或更多) groups, 在這節中我們將介紹一種方法可以利用這些 groups 創造出新的 group. 這個方法稱之為 direct product.

Definition 3.2.1   給定兩 groups, G₁ 和 G₂, 則定義

G₁×G₂ = {(a₁, a₂) | a₁ $$\in$$ G₁, a₂ $$\in$$ G₂}.

若 (a₁, a₂), (b₁, b₂) $\in$ G₁×G₂, 則定義其乘法為

(a₁, a₂) ^. (b₁, b₂) = (a₁ ^. b₁, a₂ ^. b₂).

我們稱 G₁×G₂ 為 G₁ 和 G₂ 的 direct product.

事實上利用上述的乘法 G₁×G₂ 是一個 group. 其中封閉性和結合率可以用原來 G₁ 和 G₂ 的封閉性與結合濾輕鬆得證. 什麼會是 G₁×G₂ 的 identity 呢? 若 e₁ 和 e₂ 分別是 G₁ 和 G₂ 的 identity, 應該很容易看出 (e₁, e₂) 就是 G₁×G₂ 的 identity 吧! 至於 (a₁, a₂) 的 inverse 是 (a₁^-1, a₂^-1) 直接相乘就可得知.

Proposition 3.2.2   若 G₁ 和 G₂ 都是 cyclic groups, 且其 order 分別為 n 和 m.

1. 若 n 和 m 互質, 則 G₁×G₂ 仍是一個 cyclic group.

2. 若 n 和 m 不互質, 則 G₁×G₂ 不是 cyclic group.

証 明. 因 G₁ 和 G₂ 是 cyclic, 假設 G₁ 和 G₂ 分別是由 a 和 b 生成. 注意: 從定義知 G₁×G₂ 的 order 為 nm.

(1) 假設 n 和 m 互質, 要證明 G₁×G₂ 是 cyclic 我們只要證明 G₁×G₂ 中存在一元素其 order 為 nm. 因為如此一來, 這個元素生成的 group 和 G₁×G₂ 個數一樣多, 所以 G₁×G₂ 就可由其生成. 該找什麼元素呢? 讓我們試試 (a, b) 吧. 由 Lemma 2.3.1 要說 (a, b) 的 order 為 nm, 等同於說 nm 是最小的正整數使得

(a, b)^nm = (e₁, e₂).

首先觀察

(a, b)^nm = ((aⁿ)^m,(b^m)ⁿ) = (e₁^m, e₂ⁿ) = (e₁, e₂).

接著要說明 nm 是符合上式的最小的正整數. 假設 (a, b)^r = (e₁, e₂), 則因 (a, b)^r = (a^r, b^r), 故得 a^r = e₁ 且 b^r = e₂. 因 ord(a) = n 且 ord(b) = m, 由 Lemma 2.3.2 知 n | r 且 m | r. 然而由假設 n 和 m 互質可得 nm | r, 故若 r 是一個正整數使得 (a, b)^r = (e₁, e₂) 則 r$\ge$nm. 由此證得 (a, b) 的 order 為 nm, 換句話說 G₁×G₂ 是一個由 (a, b) 生成的 cyclic group.

(2) 假設 n 和 m 不互質, 令 l 為 n 和 m 的最小公倍數. 注意因 n 和 m 不互質, 此時 l < nm. 因 a 生成 G₁, 故 G₁ 的元素都可寫成 aⁱ 這種形式. 同理 G₂ 的元素都可寫成 b^j 這種形式. 因此 G₁×G₂ 的元素都可寫成 (aⁱ, b^j) 這種形式. 考慮

(aⁱ, b^j)^l = (a^il, b^jl).

因 l 是 n 的倍數, 故 a^il = e₁. 同理 b^jl = e₂. 也就是說 (aⁱ, b^j)^l = (e₁, e₂). 由 Lemma 2.3.1 知 G₁×G₂ 中的任一元素 (aⁱ, b^j) 其 order 小於或等於 l. 所以在 G₁×G₂ 中找不到一個元素其 order 為 nm. 故 G₁×G₂ 不可能是 cyclic. $\qedsymbol$

Corollary 3.2.3   若 m, n 互質, 則

$$\mathbb {Z}$$/n$$\mathbb {Z}$$×$$\mathbb {Z}$$/m$$\mathbb {Z}$$ $$\simeq$$ $$\mathbb {Z}$$/(nm)$$\mathbb {Z}$$.

証 明. 由 Proposition 3.2.2 知 $\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/m$\mathbb {Z}$ 是一個 cyclic group. 然而 $\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/m$\mathbb {Z}$ 的 order 為 nm, 故由 Theorem 3.1.1 知其和 $\mathbb {Z}$/(nm)$\mathbb {Z}$ isomorphic. $\qedsymbol$

由 Proposition 3.2.2 知道兩個 cyclic groups 的 direct product 並不一定會依然是 cyclic, 所以 direct product 確實能幫我們產生新的 group. 以後我們可以看到所有的 finite abelian group 都可以用 cyclic groups 作 direct product 得到.

接下來我們來看看一個 group 若是由其他的 groups 用 direct product 得到, 那麼這一個 group 會有甚麼特性? 若 G₁ 和 G₂ 是兩個 groups, 且 e₁ 和 e₂ 分別為其 identity. 若 G' = G₁×G₂, 我們觀察 G' 中兩個很特別的集合:

N' = {(a, e₂) | a $$\in$$ G₁}    and    M' = {(e₁, b) | b $$\in$$ G₂}.

很容易就可檢查出 N' 和 M' 都是 G' 的 subgroups. 事實上它們都是 G' 的 normal subgroups. 這是因為對於 G' 中的任一元素 (g₁, g₂), 由於 g₁ $\in$ G₁ 所以 若 a $\in$ G₁ 則 g₁ ^. a ^. g₁^-1 $\in$ G₁, 因此

(g₁, g₂) ^. (a, e₂) ^. (g₁, g₂)^-1 = (g₁ ^. a ^. g₁^-1, g₂ ^. e₂ ^. g₂^-1) = (g₁ ^. a ^. g₁^-1, e₂) $$\in$$ N'.

同理

(g₁, g₂) ^. (e₁, b) ^. (g₁, g₂)^-1 $$\in$$ M'.

我們也很容易看出 N' $\simeq$ G₁: 這是因為考慮函數 $\pi_{1}^{}$ : N$\to$G₁ 定為 $\pi_{1}^{}$((a, e₂)) = a, 則不難看出 $\pi_{1}^{}$ 是一個 group isomorphism. 同理可得 M' $\simeq$ G₂. 另外 N' 和 M' 的特點是

G = N' ^. M'    and    N' $$\cap$$ M' = {(e₁, e₂)}.

因為 G' 中的元素都是 (g₁, g₂) 這種形式, 其中 g₁ $\in$ G₁, g₂ $\in$ G₂. 然而 (g₁, e₂) $\in$ N' 且 (e₁, g₂) $\in$ M', 故

(g₁, g₂) = (g₁, e₂) ^. (e₁, g₂) $$\in$$ N' ^. M'.

另一方面若 (g₁, g₂) $\in$ N' $\cap$ M', 則由 (g₁, g₂) $\in$ N' 得 g₂ = e₂, 再由 (g₁, g₂) $\in$ M' 得 g₁ = e₁. 故知 {(e₁, e₂)} = N' $\cap$ M'.

Theorem 3.2.4   G $\simeq$ G₁×G₂ 若且為若 G 中存在兩個 normal subgroups N 和 M 符合以下條件

1. N $\simeq$ G₁ 且 M $\simeq$ G₂.
2. G = N ^. M
3. N $\cap$ M = {e}, 其中 e 是 G 的 identity.

証 明. 利用前面所定的 N' 及 M', 我們知 N' 和 M' 是 G₁×G₂ 的 normal subgroups, 且 N' $\simeq$ G₁ 及 M' $\simeq$ G₂. 我們也知 G₁×G₂ = N' ^. M' 及 N' $\cap$ M' = {(e₁, e₂)}.

假設 $\phi$ : G$\to$G₁×G₂ 是一個 isomorphism. 則令

N = {a $$\in$$ G | $$\phi$$(a) $$\in$$ N'}    and    M = {b $$\in$$ G | $$\phi$$(b) $$\in$$ M'}.

由 Correspondence 定理 (Theorem 2.7.1), 知 N 和 M 都是 G 的 normal subgroups, 又 N/ker($\phi$) $\simeq$ N' 且 M/ker($\phi$) $\simeq$ M'. 但因 $\phi$ 是一對一, 故由 Lemma 2.5.6 得 ker($\phi$) = {e}. 因此

N $$\simeq$$ N' $$\simeq$$ G₁    and    M $$\simeq$$ M' $$\simeq$$ G₂.

再來對於所有 x $\in$ G, 我們得 $\phi$(x) $\in$ G₁×G₂, 但因 G₁×G₂ = N' ^. M', 故知 $\phi$(x) = N' ^. M'. 也就是說存在 n' $\in$ N' 和 m' $\in$ M' 使得 $\phi$(x) = n' ^. m'. 但因 $\phi$ 是 onto 的故存在 n $\in$ N 和 m $\in$ M 使得 $\phi$(n) = n' 且 $\phi$(m) = m'. 換句話說:

$$\phi$$(x) = $$\phi$$(n) ^. $$\phi$$(m) = $$\phi$$(n ^. m).

然而 $\phi$ 是一對一的故上式得 x = n ^. m. 我們得 G 中的任一元素都可寫成 n ^. m 這種形式, 其中 n $\in$ N, m $\in$ M. 換句話說

G = N ^. M.

最後, 若 x $\in$ N $\cap$ M, 則由 x $\in$ N 得 $\phi$(x) $\in$ N', 再由 x $\in$ M 得 $\phi$(x) $\in$ M'. 也就是 $\phi$(x) $\in$ N' $\cap$ M'. 然而已知 N' $\cap$ M' 是 G₁×G₂ 的 identity, 故知 x $\in$ ker($\phi$). 再由 ker($\phi$) = {e} 知 x = e. 故得證

N $$\cap$$ M = {e}.

反知若 G 中存在兩個 normal subgroup N 和 M 滿足 (1), (2), (3). 考慮函數 $\psi$ : G$\to$N×M 定義成: 若 x = n ^. m $\in$ G, 其中 n $\in$ N 和 m $\in$ M, 則 $\psi$(x) = (n, m). 這裡要注意 $\psi$ 是否為 well-defined function? G 中的任一元素由於 G = N ^. M, 確實可以寫成 n ^. m 這種形式, 不過寫法唯一嗎? 萬一不唯一, 即 x = n ^. m = n' ^. m', 其中 n$\ne$n' 或 m$\ne$m', 則 $\psi$(x) = (n, m) 又等於 (n', m') 表示 $\psi$ 是一對多, 那就不是好函數了. 事實上這種寫法是唯一的: 這是因為若 n ^. m = n' ^. m' 其中 n, n' $\in$ N, m, m' $\in$ M. 則

n'^{-1 .} n = m' ^. m^-1.

然而 n'^{-1 .} n $\in$ N 且 m' ^. m^-1 $\in$ M, 故知

n'^{-1 .} n $$\in$$ N $$\cap$$ M.

再利用假設 N $\cap$ M = {e} 知 n'^{-1 .} n = e, 也就是說 n = n'. 同理可得 m = m'. 所以寫法唯一. 好了! 既然 $\psi$ 是一個好函數, 我們接下來證 $\psi$ 是一個 group homomorphism. 也就是若 x = n ^. m, x' = n' ^. m' 其中 n, n' $\in$ N 且 m, m' $\in$ M, 則要證明 $\psi$(x ^. x') = $\psi$(x) ^. $\psi$(x'). 不過

$$\psi$$(x) ^. $$\psi$$(x') = (n, m) ^. (n', m') = (n ^. n', m ^. m'),

如果我們能證明 x ^. x' = (n ^. n') ^. (m ^. m'), 則由於 n ^. n' $\in$ N 且 m ^. m' $\in$ M, 故利用 $\psi$ 的定義我們有

$$\psi$$(x ^. x') = (n ^. n', m ^. m').

因此得 $\psi$(x ^. x') = $\psi$(x) ^. $\psi$(x'). 換句話說要證明 $\psi$ 是一個 group homomorphism 等於要證

(n ^. m) ^. (n' ^. m') = (n ^. n') ^. (m ^. m').

利用結合率

(n ^. m) ^. (n' ^. m') = n ^. (m ^. n') ^. m'

且

(n ^. n') ^. (m ^. m') = n ^. (n' ^. m) ^. m',

也就是說我們只要證明 m ^. n' = n' ^. m 就可. 要怎麼證 m ^. n' = n' ^. m 呢? 我們知 a = b 若且為若 a ^. b^-1 = e. 所以我們考慮

(m ^. n') ^. (n' ^. m)^-1 = m ^. n' ^. m^{-1 .} n'^-1.

然而 m ^. n' ^. m^-1 $\in$ N (這是因為 n' $\in$ N 且 N 是 G 的 normal subgroup), 我們有

m ^. n' ^. m^{-1 .} n'^-1 = (m ^. n' ^. m^-1) ^. n'^-1 $$\in$$ N.

同理利用 M 是 G 的 normal subgroup, 我們有

m ^. n' ^. m^{-1 .} n'^-1 = m ^. (n' ^. m^{-1 .} n'^-1) $$\in$$ M.

因此知

(m ^. n') ^. (n' ^. m)^-1 $$\in$$ N $$\cap$$ M.

再利用 N $\cap$ M = {e} 得 (m ^. n') ^. (n' ^. m)^-1 = e, 也就是說 m ^. n' = n' ^. m. 最後我們證 $\psi$ 是 1-1 and onto. 若 x $\in$ ker($\psi$), 也就是說 $\psi$(x) 是 N×M 中的 identity (e, e) (別忘了 e 是 G 的 identity 所以當然是 N 和 M 的 identity). 因 x $\in$ G 故存在 n $\in$ N, m $\in$ M 使得 x = n ^. m. 由此得 $\psi$(x) = (n, m) = (e, e). 也就是說 n = e 且 m = e, 故 x = e ^. e = e. 得證 ker($\psi$) = {e} 故 $\psi$ 是一對一. 要證明 $\psi$ 是 onto, 我們必須任取 N×M 中的任一元素 (n, m), 然後說 G 中存在一元素 x 使得 $\psi$(x) = (n, m). 我們只要令 x = n ^. m 即可, 因為由定義此時 $\psi$(x) = (n, m). 好了我們證得 $\psi$ 是一個 isomorphism 故

G $$\simeq$$ N×M.

不過我們不是該證 G $\simeq$ G₁×G₂ 嗎? 沒關係, 因為由假設 N $\simeq$ G₁ 且 M $\simeq$ G₂, 利用下一個 Lemma, 我們就可知

G $$\simeq$$ N×M $$\simeq$$ G₁×G₂.

$\qedsymbol$

Lemma 3.2.5   若 G₁ $\simeq$ G₁' 且 G₂ $\simeq$ G₂' 則

G₁×G₂ $$\simeq$$ G₁'×G₂'.

証 明. 由假設我們之存在 isomorphisms: $\phi_{1}^{}$ : G₁$\to$G₁', 且 $\phi_{2}^{}$ : G₂$\to$G₂'. 定義新的函數 $\phi$ : G₁×G₂$\to$G₁'×G₂', 使得對所有的 (g₁, g₂) $\in$ G₁×G₂,

$$\phi$$((g₁, g₂)) = ($$\phi_{1}^{}$$(g₁),$$\phi_{2}^{}$$(g₂)).

因為 $\phi_{1}^{}$(g₁) $\in$ G₁', $\phi_{2}^{}$(g₂) $\in$ G₂', $\phi$ 真的把 G₁×G₂ 的元素送到 G₁'×G₂'. 利用 $\phi_{1}^{}$ 和 $\phi_{2}^{}$ 是 group homomorphism, 我們很容易驗證 $\phi$ 也是一個 group homomorphism.

$\phi$ 是 onto 的嗎? 若 (y₁, y₂) $\in$ G₁'×G₂', 即 y₁ $\in$ G₁' 且 y₂ $\in$ G₂', 則因 $\phi_{1}^{}$ 和 $\phi_{2}^{}$ 是 onto, 故存在 x₁ $\in$ G₁ 且 x₂ $\in$ G₂ 使得 $\phi_{1}^{}$(x₁) = y₁ 且 $\phi_{2}^{}$(x₂) = y₂. 故選 (x₁, x₂) $\in$ G₁×G₂, 則

$$\phi$$((x₁, x₂)) = ($$\phi_{1}^{}$$(x₁),$$\phi_{2}^{}$$(x₂)) = (y₁, y₂).

所以 $\phi$ 是 onto.

什麼是 ker($\phi$) 呢? 若 (a, b) $\in$ ker($\phi$), 因 G₁'×G₂' 的 identity 是 (e₁', e₂'), 其中 e₁' 和 e₂' 分別是 G₁' 和 G₂' 的 identity, 故得

$$\phi$$((a, b)) = ($$\phi_{1}^{}$$(a),$$\phi_{2}^{}$$(b)) = (e₁', e₂').

由此知 $\phi_{1}^{}$(a) = e₁' 且 $\phi_{2}^{}$(b) = e₂'. 換句話說 a $\in$ ker($\phi_{1}^{}$) 且 b $\in$ ker($\phi_{2}^{}$). 然而 $\phi_{1}^{}$ 和 $\phi_{2}^{}$ 由假設都是一對一的, 故 ker($\phi_{1}^{}$) = {e₁} 且 ker($\phi_{2}^{}$) = {e₂}, 其中 e₁ 和 e₂ 分別是 G₁ 和 G₂ 的 identity. 故得 a = e₁, b = e₂, 換句話說 ker($\phi$) 是 G₁×G₂ 的 identity, 故由 Lemma 2.5.6 知 $\phi$ 是一對一的. 因而得證 $\phi$ 是一個 isomorphism, 即

G₁×G₂ $$\simeq$$ G₁'×G₂'.

$\qedsymbol$

我們已了解兩個 group 的 direct product 相關的性質, 其實兩個 groups G₁ 和 G₂ 的 direct product G₁×G₂ 仍是一個 group 所以還可以和第三個 group G₃ 作 direct product 得 (G₁×G₂)×G₃. 這樣一直推演下去, 可以得到任意 n 個 groups 的 direct product.