Cyclic Groups

回顧一下, 一個 group G 是所謂的 cyclic group 就是在 G 中可以找到一個元素 a $\in$ G 使得 a 產生的 cyclic group $\langle$a$\rangle$ = {aⁱ | i $\in$ $\mathbb {Z}$} 就是 G. 換句話說 G 中的元素都是 aⁱ 這種形式. Cyclic group 可以說是 group 中最簡單的一種. 其實我們可以知道所有的 cyclic groups 有哪些.

Theorem 3.1.1   若 G 是一個 cyclic group. 則:

1. 若 G 的個數有無窮多 (infinite group), 則 G $\simeq$ $\mathbb {Z}$.
2. 若 G 的個數有 n 個 (order 為 n), 則 G $\simeq$ $\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$.

証 明. 若 G 是 cyclic, 假設 G 可由 a 生成. 考慮 $\phi$ : $\mathbb {Z}$$\to$G 定義成 $\phi$(i) = aⁱ. 很容易看出

$$\phi$$(i + j) = a^{i + j} = a^{i .} a^j = $$\phi$$(i) ^. $$\phi$$(j).

所以 $\phi$ 是由 $\mathbb {Z}$ 這個加法 group 到 G 的 group homomorphism. 再加上 G 中的元素都是 aⁱ 這種形式所以可知 $\phi$ 是 onto 的. 既然 $\phi$ 是 epimorphism 我們就可以利用 First Isomorphism 定理 (Corollary 2.6.2).

(1) 若 G 是 infinite group. 我們欲證 $\phi$ 是一對一的. 由於 0 是 $\mathbb {Z}$ 的 identity, Lemma 2.5.6 告訴我們這等同於要證明 ker($\phi$) = {0}. 若 m $\in$ ker($\phi$), 則 $\phi$(m) = a^m = e. 若 m$\ne$ 0, 則利用任何整數 i 都可寫成 i = mh + r 的形式, 其中 h $\in$ $\mathbb {Z}$, 0$\le$r < | m|. 可得任何 G 中的元素 aⁱ 都可寫成

aⁱ = (a^m)^{h .} a^r = e^{h .} a^r = a^r.

換句話說 G 的元數都可寫成 a^r, 其中 0$\le$r < | m|; 也就是說 G 最多只有 | m| 個元素. 這和 G 有無窮多個元素相違背. 所以我們的假設 m$\ne$ 0 是不可能發生的. 不過 $\phi$(0) = a⁰ = e, 故 0 $\in$ ker($\phi$). 因此得 ker($\phi$) = {0}.

(2) 若 G 是一個 cyclic group of order n, 由於 G = $\langle$a$\rangle$ 故 ord(a) = n. 而 Lemma 2.3.2 告訴我們若 a^m = e 則 n | m. 今若 m $\in$ ker($\phi$), 及 $\phi$(m) = a^m = e. 故由前述結果知 n | m: 也就是說 m 是 n 的倍數. 另一方面若 m = nh 是 n 的倍數, 則 $\phi$(m) = a^m = (aⁿ)^h = e: 也就是說 m $\in$ ker($\phi$). 我們得到 ker($\phi$) 是由 n 的倍數所成的集合. 因此 ker($\phi$) = n$\mathbb {Z}$. 故由 Corollary 2.6.2 知 G $\simeq$ $\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$. $\qedsymbol$

Theorem 3.1.1 告訴我們說 cyclic groups 是可以用其個數來分類的. 也就是說給定一正整數 n 用 isomorphism 的觀點來看就只有一種 cyclic group 其 order 為 n, 但是要注意這並不表示沒有其他的 group 其 order 是 n. 然而若是給定的是一個質數 p, 那麼 Corollary 2.2.3 告訴我們的確只有一種 group 其 order 為 p, 就是 cyclic group $\mathbb {Z}$/p$\mathbb {Z}$. 事實上在證明 Corollary 2.2.3 時我們是利用 Lagrange's Theorem 知道當 | G| = p 時除了 identity 及 G 本身外 G 不會有其他的 nontrivial proper subgroup. 反之下一個 Lemma 告訴我們如果 G 沒有 nontrivial proper subgroup, 則 G 一定是 cyclic group.

Lemma 3.1.2   如果 G 是一個 group 且沒有 nontrivial 的 nontrivial proper subgroup, 則 G 一定是一個 cyclic group 且 | G| = p, 其中 p 為一個質數.

証 明. 任選 a $\in$ G 且 a$\ne$e, 則由 a 產生的 cyclic group $\langle$a$\rangle$ 是 G 的一個 subgroup. 不過由於 $\langle$a$\rangle$$\ne${e}, 故由假設 G 沒有 nontrivial proper subgroup 知, $\langle$a$\rangle$ = G. 另外若 | G| = ord(a) 不是質數, 即 ord(a) = mn 其中 m > 1 且 n > 1, 則由 Proposition 2.3.3 知

ord(a^m) = $${\frac{mn}{\gcd(mn,m)}}$$ = n,

也就是說 a^m 產生的 cyclic subgroup of G 其個數是 n. 故 $\langle$a^m$\rangle$$\ne${e} 且 $\langle$a^m$\rangle$$\ne$G. 換句話說 $\langle$a^m$\rangle$ 是 G 的 nontrivial proper subgroup. 這與假設不符, 故 G 的 order 是一個質數. $\qedsymbol$

若 G 是一個 cyclic group, 大家或許會猜它的 subgroup 應該也都是 cyclic group. 沒錯, 可是數學不能用猜的, 我們還是得給個證明.

Proposition 3.1.3   若 G 是一個 cyclic group, 則 G 中任意的 subgroup 也是一個 cyclic group.

証 明. 假設 G = $\langle$a$\rangle$ 是一個 cyclic group, 且 H 是 G 中任意的一個 subgroup. 別忘了要證明 H 也是一個 cyclic group 就必須找一個元素可以產生 H. 要找甚麼元素呢? 當然要靠 a 來幫忙了.

如果 H 中的元素只有 identity e, 那當然 H = $\langle$e$\rangle$ 是一個 cyclic group. 如果 H 不是 $\langle$e$\rangle$, 由於 H $\subseteq$ G, H 中的元素都是 aⁱ, i $\in$ $\mathbb {Z}$ 這種形式, 我們一定 可以找到一個最小的正整數 n 滿足 aⁿ $\in$ H. 我們要證明 H = $\langle$aⁿ$\rangle$. 由於 aⁿ $\in$ H 所以自然知 $\langle$aⁿ$\rangle$ $\subseteq$ H. 我們只剩下要說明 H $\subseteq$ $\langle$aⁿ$\rangle$, 也就是說 H 中的元素都是 (aⁿ)^h, h $\in$ $\mathbb {Z}$ 這種形式. 假設 a^m $\in$ H, 我們利用整數的餘數定理, 知存在整數 h 及 r, 其中 0$\le$r < n 使得 m = n ^. h + r. 因此得

a^r = a^{m .} (a^nh)^-1.

不過由假設 a^m $\in$ H 且 (a^nh)^-1 $\in$ H, 故知 a^r $\in$ H. 但是我們已選 n 是最小的正整數滿足 aⁿ $\in$ H, 而又 0$\le$r < n, 所以 a^r $\in$ H 表示 r = 0. 因此我們得證 H 中的元素都是 (aⁿ)^h 這種形式. $\qedsymbol$