Euclidean Domain

回顧一下 $\mathbb {Z}$ 中的 Euclid's Algorithm 可以說是任取 a, b $\in$ $\mathbb {Z}$ , 其中 b $\ne$ 0, 則存在 h, r $\in$ $\mathbb {Z}$ , 其中 r 符合 r = 0 或 $\left\vert\vphantom{ r}\right.$ r $\left.\vphantom{ r}\right\vert$ < $\left\vert\vphantom{ b}\right.$ b $\left.\vphantom{ b}\right\vert$ 使得 a = b^.h + r. 而在 F[x] 中的 Euclid's Algorithm 是說任取 f (x), g(x) $\in$ F[x] 其中 g(x) $\ne$ 0, 則存在 h(x), r(x) $\in$ F[x], 其中 r(x) 符合 r(x) = 0 或 deg(r(x)) < deg(g(x)) 使得 f (x) = g(x)^.h(x) + r(x). 這裡重要的是在 $\mathbb {Z}$ 中有一個絕對值函數將 $\mathbb {Z}$ 中的非 0 元素送到非負的整數, 而在 F[x] 中有一個 degree 函數將 F[x] 中的非 0 元素送到非負的整數. 我們就是要擷取這樣的函數的特性.

Definition 8.2.1 設 R 是一個 integral domain. 如果存在一函數

$\displaystyle \Phi$ : R $\displaystyle \setminus$ {0} $\displaystyle \to$ $\displaystyle \mathbb {N}$ $\displaystyle \cup$ {0}

使得對任意的 a, b $\in$ R 其中 b $\ne$ 0 都可以找到 h, r $\in$ R, 其中 r 符合 r = 0 或 $\Phi$ (r) < $\Phi$ (b), 滿足 a = b^.h + r, 則稱 R 為一個 Euclidean domain.

除了 $\mathbb {Z}$ 和 F[x] � 還有貧的 Euclidean domain. 例如 $\mathbb {Z}$ [i] = {a + bi | a, b $\in$ $\mathbb {Z}$ } 這一個 integral domain 利用 $\Phi$ (a + bi) = a² + b² 這個函數就可得 $\mathbb {Z}$ [i] 是一個 Euclidean domain (在此我們略去證明, 若有興趣的同學可到網站 http://math.ntnu.edu.tw/ $\sim$ li/note 下載講義 ``Factorization of Commutative Rings'' 有詳細證明).

一般而言要驗證一個 integral domain 是否為一個 Euclidean domain 是很困難的. 在此我們並不討論這類的問題. 我們僅列出 Euclidean domain 的重要性質. 回顧我們曾利用 Euclid's Algorithm 證出在 $\mathbb {Z}$ 和 F[x] 中所有的 ideal 都是 principle ideal. 這一套證明可以完完整整搬到 Euclidean domain 上.

証明. 若 I 是 R 中的一個 ideal. 考� T = { $\Phi$ (a) | a $\in$ I $\setminus$ {0}} 這一個集合. 由於 $\Phi$ 的值域在 $\mathbb {N}$ $\cup$ {0} 所以 T 是 $\mathbb {N}$ $\cup$ {0} 的一個子集合. 因此 T 必存在最小的元素. 換句話說存在 d $\in$ I $\setminus$ {0} 使得對任意的 a $\in$ I $\setminus$ {0} 皆有 $\Phi$ (d ) $\le$ $\Phi$ (a). 我們欲證 I = $\bigl($ d $\bigr)$ .

由於 d $\in$ I, 自然得 $\bigl($ d $\bigr)$ $\subseteq$ I. 另� 對任意 a $\in$ I, 由 Euclidean domain 的假設知存在 h, r $\in$ R 滿足 a = d^.h + r 且 r = 0 或 $\Phi$ (r) < $\phi$ (d ). 如果 r $\ne$ 0, 由 r = a - d^.h 且 a, d $\in$ I 可知 r $\in$ I. 也就是說 r $\in$ I $\setminus$ {0} 且 $\Phi$ (r) < $\Phi$ (d ). 這和 $\Phi$ (d ) 是 T 中最小的假設相矛盾, 故知 r = 0. 換言之 a = d^.h, 即 a $\in$ $\bigl($ d $\bigr)$ . 故得證 I $\subseteq$ $\bigl($ d $\bigr)$ . $\qedsymbol$

由於一個 integral domain 的 ideal 都是 principle ideal 這樣的 ring 非常特別, 我們也給它一個特別的名稱.

Theorem 8.2.2 告訴我們一個 Euclidean domain 一定是一個 principle ideal domain. 要注意, ㄧ個 principle ideal domain 未必會是一個 Euclidean domain. 有興趣的同學可以參考我的講義 ``Factorization of Commutative Rings'' 其中有給一個 principle ideal domain 但不是 Euclidean domain 的例子.