Principle Ideal Domain

前面提過對一般的 integral domain 任給兩個非 0 元素其 greatest common divisor 不一定存在. 不過對於 principle ideal domain, 任意兩個非 0 元素之 greatest common divisor 就一定存在了!

証明. 首先考� $\bigl($ a $\bigr)$ + $\bigl($ b $\bigr)$ 這一個 ideal. 由於 R 是 principle ideal domain, 故存在 d $\in$ R 滿足 $\bigl($ d $\bigr)$ = $\bigl($ a $\bigr)$ + $\bigl($ b $\bigr)$ . 我們想要證明 d 就是 a, b 的 greatest common divisor.

首先先證明 d 是 a, b 的 common divisor. 由於

$\displaystyle \bigl($ a $\displaystyle \bigr)$ $\displaystyle \subseteq$ $\displaystyle \bigl($ a $\displaystyle \bigr)$ + $\displaystyle \bigl($ b $\displaystyle \bigr)$ = $\displaystyle \bigl($ d $\displaystyle \bigr)$ ,

故由 Lemma 8.1.2 知 d | a. 同理可證 d | b, 故得 d 是 a, b 的一個 common divisor.

接下來證明若 c 是 a, b 的一個 common divisor, 則 c | d. 然而若 c | a 且 c | b, 表示 $\bigl($ a $\bigr)$ $\subseteq$ $\bigl($ c $\bigr)$ 且 $\bigl($ b $\bigr)$ $\subseteq$ $\bigl($ c $\bigr)$ . 由於 $\bigl($ c $\bigr)$ 是一個 ideal, 它有加法的封閉性, 故得 $\bigl($ a $\bigr)$ + $\bigl($ b $\bigr)$ $\subseteq$ $\bigl($ c $\bigr)$ . 也就是說 $\bigl($ d $\bigr)$ $\subseteq$ $\bigl($ c $\bigr)$ . 故得證 c | d.

最後由定義, $\bigl($ a $\bigr)$ + $\bigl($ b $\bigr)$ 中的元素都是 r^.a + s^.b, 其中 r, s $\in$ R 這種形式. 故由 d $\in$ $\bigl($ d $\bigr)$ = $\bigl($ a $\bigr)$ + $\bigl($ b $\bigr)$ 知一定存在 r, s $\in$ R 使得 d = r^.a + s^.b. 這個特性對於任意 a, b 的 greatest common divisor 皆對. 這是因為由 Lemma 8.1.6 知若 d' 是 a, b 另一個 greatest common divisor, 則我們依然有 $\bigl($ d' $\bigr)$ = $\bigl($ d $\bigr)$ = $\bigl($ a $\bigr)$ + $\bigl($ b $\bigr)$ . $\qedsymbol$

``若 d 是 a, b 的一個 greatest common divisor, 則存在 r, s $\in$ R 滿足 d = r^.a + s^.r'' 這一個特性非常有用. 大家可以利用這個特性再仿照 Proposition 7.1.7 或 Proposition 7.2.11 的証明方式證得一個 principle ideal domain 中的 irreducible element 都是 prime element. 不過這裡我們介紹另一種利用 ideal 方法的證明.

回顧一下 Lemma 8.1.9 的另一部分是說 a 是 prime element 若且唯若 $\bigl($ a $\bigr)$ 是一個 prime ideal. 所以我們很快的就可以得到以下之結果.

前面提過在一般的 commutative ring with 1 中的 maximal ideal 都是 prime ideal, 但是 prime ideal 未必是 maximal ideal. 然而 Lemma 8.3.2 以及 Proposition 8.3.3 將 principle ideal domain 中的 maximal ideal 和 prime ideal 給了一個重要的關連.

我們曾經利用 $\mathbb {Z}$ 和 F[x] 中的 irreducible element 和 prime element 是相同的證明 $\mathbb {Z}$ 和 F[x] 的唯一分解性質. 我們畢b幾乎已到達可以證明 principle ideal domain 的唯一分解性質的目標. 不過當時我們在 $\mathbb {Z}$ 和 F[x] 中是利用數學歸納法來證明唯一分解性質, 畢b在一般的 principle ideal domain 我們沒辦法使用數學歸納法. 下一個 Lemma 可以幫助我們克服這個困難.

証明. 首先我們考� I = $\cup_{n=1}^{\infty}$ I_n 這一個集合. 我們想要證明 I 是 R 中的 ideal. (要注意一般來講若 J₁, J₂ 是 R 的 ideal 那麼 J₁ $\cup$ J₂ 不一定是 R 的 ideals. 不過在這裡由於 I_n 有包含的關係, 我們可以證出 I 是一個 ideal.)

假設 a, b $\in$ I, 換句話說存在 i, j $\in$ $\mathbb {N}$ 使得 a $\in$ I_i 且 b $\in$ I_j. 假設 i $\ge$ j, 由假設知 I_j $\subseteq$ I_i. 故得 a, b $\in$ I_i. 因此由 I_i 是一個 ideal, 我們有 a - b $\in$ I_i. 所以得 a - b $\in$ I. 另� 若 a $\in$ I 且 r $\in$ R, 由假設知存在 i $\in$ $\mathbb {N}$ 使得 a $\in$ I_i. 故得 a^.r $\in$ I_i, 也就是說 a^.r $\in$ I. 故由 Lemma 6.1.2 知 I 是 R 中的一個 ideal.

既然 I 是 R 的 ideal 且 R 是 principle ideal domain, 故存在 a $\in$ R 使得 $\bigl($ a $\bigr)$ = I. 然而利用 a $\in$ $\bigl($ a $\bigr)$ = I 知存在 m $\in$ $\mathbb {N}$ 使得 a $\in$ I_m. 故利用 $\bigl($ a $\bigr)$ 是包含 a 最小的 ideal (Lemma 6.5.1) 知 I = $\bigl($ a $\bigr)$ $\subseteq$ I_m. 換句話說 I = I_m, 因此利用對所有的 i > m 皆有 I_m $\subseteq$ I_i 以及 I_i $\subseteq$ I 得證 I = I_m = I_i, $\forall$ i > m. $\qedsymbol$

我們要藉用 Lemma 8.3.5 的主要原因是如果 d 是 a 的一個 nontrivial divisor (即 d | a 但 d 不是 unit 且和 a 不 associates), 則 $\bigl($ a $\bigr)$ $\subsetneq$ $\bigl($ d $\bigr)$ . 如此一來, 可以證出 R 中的元素只能寫成有限多個 irreducible element 的乘積.

証明. 首先我們證明 a 可以寫成有限多個 irreducible elements 的乘積. 如果 a 不能寫成有限多個 irreducible elements 的乘積, 表示 a 本身不是 irreducible, 因此 a = a₁^.b₁, 其中 a₁, b₁ $\in$ R 是 a 的 nontrivial divisors 且 a₁, b₁ 中必有一個不能寫成有限多個 irreducible elements 的乘積. 假設是 a₁, 同上我們知存在 a₂, b₂ $\in$ R 使得 a₁ = a₂^.b₂, 其中a₂ 是 a₁ 的 nontrivial divisor 且 a₂ 不能寫成有限多個 irreducible elements 的乘積. 如此一直下去我們製造了一連串的 ideals 符合

$\displaystyle \bigl($ a $\displaystyle \bigr)$ $\displaystyle \subsetneq$ $\displaystyle \bigl($ a₁ $\displaystyle \bigr)$ $\displaystyle \subsetneq$ $\displaystyle \bigl($ a₂ $\displaystyle \bigr)$ $\displaystyle \subsetneq$ ^... $\displaystyle \subsetneq$ $\displaystyle \bigl($ a_n $\displaystyle \bigr)$ $\displaystyle \subsetneq$ ^....

此和 Lemma 8.3.5 矛盾, 故知 a 一定可以寫成有限多個 irreducible elements 的乘積.

接下來我們證唯一性. 一般來說若已證得 irreducible element 就是 prime element 唯一性就自動成立. 這是因為如果

a = p₁^{n₁ ...}p_r^n_r = q₁^{m₁ ...}q_s^m_s,

任取 p_i 由於

p_i | q₁^{m₁ ...}q_s^m_s,

且 p_i 是 prime (Proposition 8.3.3) 知存在 j $\in$ {1,..., s} 使得 p_i | q_j. 換言之 p_i 是 q_j 的一個 divisor. 然而 q_j 是 irreducible 且 p_i 不是 unit, 故得 p_i $\sim$ q_j (即 p_i 和 q_j associates). 因此我們知道對這個 p_i, 在 {q₁,..., q_s} 中只能找到唯一的 q_j 使得 p_i $\sim$ q_j. 否則若 j $\ne$ j' 但 p_i | q_j', 則同理可得 p_i $\sim$ q_j', 利用 associates 是個 equivalence relation 我們得 q_j $\sim$ q_j', 這和假設若 j $\ne$ j' 則不可能 q_j $\sim$ q_j' 相矛盾. 反之對任意的 q_j 我們可以在 {p₁,..., p_r} 中找到唯一的 p_i 使得 q_j $\sim$ p_i. 因此我們在 {p₁,..., p_r} 和 {q₁,..., q_s} 這兩個集合中找到一對一的對應. 也就是說 r = s 且經過適當的重排我們有 p₁ $\sim$ q₁,..., p_r $\sim$ q_r. 盒眾]某個 n_i $\ne$ m_i, 為了方便起見我們就假設 n₁ $\ne$ m₁ 且 n₁ > m₁ 吧! 由於 q₁ = u^.p₁, 其中 u 是 R 的一個 unit, 我們有

p₁^m₁(p₁^{n₁ - m₁ .}p₂^{n₂ ...}p_r^n_r - u^{m₁ .}q₂^{m₂ ...}q_r^m_r) = 0.

利用 p₁^m₁ $\ne$ 0 且 R 是 integral domain, 我們有

p₁^{n₁ - m₁ .}p₂^{n₂ ...}p_r^n_r = u^{m₁ .}q₂^{m₂ ...}q_r^m_r.

然而由於 n₁ - m₁ > 0, 可得在 {q₂,..., q_r} 中存在 q_j 使得 p₁ | q_j (注意 u 是 unit 故不可能 p₁ | u). 也就是說 p₁ $\sim$ q_j, 但這和 q₁ 是 {q₁,..., q_r} 中唯一滿足和 p₁ associates 的元素相矛盾. 得證本定理. $\qedsymbol$

滿足 Theorem 8.3.6 中的唯一分解性質的 ring 非常重要, 我們也給它一個特殊的名子.

Theorem 8.3.6 告訴我們一個 principle ideal domain 一定是一個 unique factorization domain. 但是一個 unique factorization domain 並不一定是 principle ideal domain. 我們曾經見過 $\mathbb {Z}$ [x] 是一個 unique factorization domain (Theorem 7.3.13) 但其中 $\bigl($ 2 $\bigr)$ + $\bigl($ x $\bigr)$ 這一個 ideal 並不是 principle ideal (Example 7.3.1).