Principle ideals

假設 R 是一個 commutative ring with 1. 要了解 R 中的 ideal 長甚麼樣子, 我們首先會考憧]含某一元素之最小的 ideal 為何, 因為這是最簡單的 ideal. 若給定 a $\in$ R, 則包含 a 的最小 ideal I 應該長甚麼樣子呢? 首先 I 至少要包含 a 所產生的加法的 cyclic group, 即 {0, a, - a, 2a, - 2a,..., na, - na,...}. 注意前面提過這裡 2a 不是 2^.a 而是 (1 + 1)^.a (別忘了 1 $\in$ R 這個假設). 由於 1 + 1 $\in$ R, 我們可以說存在某一元素 $\alpha$ $\in$ R 使得 2a = $\alpha$ ^.a. 同理對其他的正整數 n, 由於

Lemma 6.5.1 假設 R 是一個 commutative ring with 1, 且 a $\in$ R. 令 A = {r^.a | r $\in$ R}, 則 A 是 R 的一個 ideal. 事實上, A 是 R 中包含 a 之最小的 ideal.

証明. 從前面的討論我們已知: 若 I 是 R 中包含 a 之最小的 ideal, 則 A $\subseteq$ I. 因此若能證得 A 是 R 的 ideal, 則知 I = A.

我們利用 Lemma 6.1.2 來證明 A 是 R 的 ideal. 任取 A 中兩元素 r^.a 和 r'^.a, 其中 r, r' $\in$ R. 由於 r^.a - r'^.a = (r - r')^.a 且 r - r' $\in$ R, 知 r^.a - r'^.a $\in$ A. 另� 任取 R 中一元素 r 及 A 中一元素 r'^.a, 其中 r' $\in$ R. 由於 (r'^.a)^.r = r^.(r'^.a) = (r^.r')^.a 且 r^.r' $\in$ R, 知 (r'^.a)^.r = r^.(r'^.a) $\in$ A. 因此 A 是 R 的 ideal. $\qedsymbol$

通常我們會將 Lemma 6.5.1 中的 A 用 $\bigl($ a $\bigr)$ 來表示. 注意我們是用大一點的括號 $\bigl($ $\bigr)$ 以免和一般運算間的小括號 ( ) 混淆.

Definition 6.5.2 假設 R 是一個 commutative ring with 1, 且 a $\in$ R. 則

$\displaystyle \bigl($ a $\displaystyle \bigr)$ = {r^.a | r $\displaystyle \in$ R}

稱為 the principle ideal generated by a in R. 若 I 為 R 的一個 ideal 且在 R 中存在一元素 a 滿足 I = $\bigl($ a $\bigr)$ 則稱 I 是 R 的一個 principle ideal.

Example 6.5.3 在 $\mathbb {Z}$ 中, 任取 n $\in$ $\mathbb {Z}$ , 則所有 n 的倍數所成的集合是一個 principle ideal, 即 $\bigl($ n $\bigr)$ = {z^.n | z $\in$ $\mathbb {Z}$ }.

將來我們會看到在 $\mathbb {Z}$ 中所有的 ideal 都是 principle ideal, 不過這對一般的 ring 並不一定對. 另� 若 I 是一個 principle ideal, 並不表示產生 I 的元素是唯一的 (例如前面的例子我們有 $\bigl($ n $\bigr)$ = $\bigl($ - n $\bigr)$ ), 事實上我們有以下的結果.

Lemma 6.5.4 假設 R 是一個 commutative ring with 1. 如果 a, b $\in$ R 且存在一 unit u $\in$ R 滿足 a = u^.b, 則 $\bigl($ a $\bigr)$ = $\bigl($ b $\bigr)$ .

証明. 由於 a = u^.b, 由定義知 a $\in$ $\bigl($ b $\bigr)$ . 又由於 $\bigl($ b $\bigr)$ 是一個 ideal 且 $\bigl($ a $\bigr)$ 是包含 a 最小的 ideal, 故得 $\bigl($ a $\bigr)$ $\subseteq$ $\bigl($ b $\bigr)$ . 反之, 因 u 是 R 的 unit, 故存在 v $\in$ R 滿足 v^.u = 1. 所以由 b = (v^.u)^.b = v^.a 知 b $\in$ $\bigl($ a $\bigr)$ . 再利用 $\bigl($ b $\bigr)$ 是包含 b 最小的 ideal 得 $\bigl($ b $\bigr)$ $\subseteq$ $\bigl($ a $\bigr)$ . 故證得 $\bigl($ a $\bigr)$ = $\bigl($ b $\bigr)$ . $\qedsymbol$

以下介紹一個 principle ideal 的簡單應用. 我們在 lemma 6.2.4 中知道: 當 R 是一個 division ring 時, R 中只有 {0} 和 R 這兩個 ideals. 當 R 是一個 field 時 (R 也就是一個 division ring), R 當然也就沒有 nontrivial proper ideal. 當 R 是 commutative ring with 1 時, 這是一個幫助我們判斷 R 是否為一個 field 的好方法.

証明. 我們已知當 R 是一個 field 時, R 沒有 nontrivial proper ideal. 反之, 如果 R 沒有 nontrivial proper ideal, 我們想證明 R 是一個 field. 由於 R 已假設是 commutative ring with 1, 依定義我們只要證明 R 中非 0 的元素都是 unit. 任取 a $\in$ R 且 a $\ne$ 0. 我們考� $\bigl($ a $\bigr)$ 這一個 principle ideal. 因為 a $\ne$ 0 且 a $\in$ $\bigl($ a $\bigr)$ , 故知 $\bigl($ a $\bigr)$ $\ne$ {0}. 不過依假設 R 中除了 {0} 和 R 已� 沒有其他的 ideal, 因此得 $\bigl($ a $\bigr)$ = R. 然而 1 $\in$ R, 即 1 $\in$ $\bigl($ a $\bigr)$ 故由 $\bigl($ a $\bigr)$ 的定義知存在 r $\in$ R 使得 1 = r^.a. 也就是說 a 是一個 unit. $\qedsymbol$

最後我們要強調, 在 Proposition 3.1.3 中我們知道一個 cyclic group 中的 subgroup 都是 cyclic group. 不過對 principle ideal, 這就不一定對了. 也就是說若 I, I' 都是 R 的 ideal 且 I' $\subseteq$ I. 如果已知 I 是 principle ideal, 這並不保證 I' 會是 principle ideal.